2.5. Сторонние магнитные токи и заряды

Понятия сторонних электрических токов и зарядов, распре­деленных в некотором объеме с плотностями j^ст и ρ^ст соответ­ственно, были введены в §1.8. Если сторонние токи и заряды заданы в тонком слое, то при постановке электродинамической задачи часто считают, что этот слой является бесконечно тонким, т.е. может быть аппроксимирован некоторой поверхностью S, а вместо j^ст и ρ^ст задают плотности сторонних поверхностных элект­рических токов и зарядов . Назовем одну из сторон пове­рхности S первой, а другую- второй. Значения функций, вычи­сленные в точках, принадлежащих определенной стороне пове­рхности, будем обозначать соответствующим индексом 1 или 2.

Наличие на S поверхностных электрических токов обязательно приводит (см.1.7.2) к разрыву при переходе через S касательной составляющей вектора Н:

где п₀ - орт нормали к первой стороне поверхности S.

Аналогично сторонние поверхностные электрические заряды, распределенные по S, вызывают появление разрыва при переходе через S нормальной составляющей вектора D = εЕ:

где ε₁ и ε₂ - абсолютные диэлектрические проницаемости сред, расположенных с соответствующих сторон поверхности S. В об­щем случае поверхность S может частично или полностью сов­падать с границей раздела сред. Поэтому параметры ε₁ и ε₂ могут быть как одинаковыми, так и разными. Таким образом, задание сторонних поверхностных электрических токов и зарядов экви­валентно заданию разрыва касательной составляющей вектора Н и нормальной составляющей вектора D (вектора Е) соответ­ственно.

Для упрощения электродинамической модели, заменяющей реальную систему, в ряде случаев вводят так называемые сто­ронние магнитные токи и заряды.

Задание сторонних поверхностных магнитных токов эквива­лентно заданию разрыва касательной составляющей вектора Е при переходе через рассматриваемую поверхность S:

где индексы 1 и 2, как и прежде, означают, что функция вычислена соответственно на первой или на второй стороне поверхности S. Выбор знака в правой части равенства (2.67) будет пояснен ниже. Задание на поверхности S обязательно приведет к разрыву на

S нормальной составляющей вектора В = μН. Величину этого разрыва можно трактовать как плотность сторонних поверхностных магнитных зарядов:

Подчеркнем, что введенные таким образом магнитные токи и заряды являются фиктивными, однако в ряде случаев они по­зволяют существенно упростить электродинамическую модель реальной системы.

Зная плотности , можно вычислить величины магни­тных токов и зарядов , сосредоточенных на S или какой-либо части поверхности S. По аналогии с обычным током проводимости магнитный ток можно рассматривать как упорядоченное движение магнитных зарядов, а в качестве положительного направления магнитного тока принять направление движения положительных магнитных зарядов. Магнитные токи измеряются в вольтах, маг­нитные заряды - в веберах. Плотность поверхностных магнитных зарядов измеряется в веберах на квадратный метр, плотность поверхностных магнитных токов - в вольтах на метр.

При построении электродинамических моделей реальных си­стем иногда удобно, считать, что магнитные токи и заряды расп­ределены в некотором объеме с плотностями j^м и ρ^м соот­ветственно. Функции j^м и ρ^м определяются формулами, аналоги­чными (1.8) и (1.42) соответственно. Плотность магнитных токов j^м измеряется в В/м² , об%емная плотность магнитных зарядов-в Вб/м³ . Магнитные токи /^м выражаются через их плотность j^м формулой, аналогичной (1.26), магнитные заряды Q^м - через ρ^м формулой, аналогичной (1.41).

Сторонние магнитные источники можно учесть в уравнениях Максвелла так же, как были учтены сторонние электрические источники (см. 1.8.1). Из первого уравнения Максвелла (1.111) видно, чо плотность сторонних электрических токов j^ст входит в правую часть этого уравнения со знаком "+" так же, как плотность тока смещения dD/dt. Плотность сторонних магнитных токов должна быть введена во второе уравнение Максвелла (1.39). В правой части этого уравнения стоит функция dB/dt. Формально, по аналогии с dD/dt, ее можно назвать плотностью магнитного тока смещения. Так как перед dB/dt стоит знак минус, то и функцию j^м целесообразно ввести с таким же знаком. При этом второе уравнение Максвелла примет вид

Из уравнения (2.69) следует, что сторонние магнитные токи, так же, как переменное во времени магнитное поле, создают вихревое электрическое поле, силовые линии которого, расположенные в непосредственной близости к рассматриваемой точке, охватывают линии вектора образуя с ним левовинтовую систему (рис. 2.10).

Вернемся к соотношению (2.67), определяющему плотность сторонних поверхностных магнитных токов . Как видно, выбор

знака в правой части формулы (2.67) со­ответствует выбору знака перед j^м во втором уравнении Максвелла (2.69).

Сторонние магнитные заряды учитываются в четвертом уравнении Максвелла:

div В = ρ^м. (2.70)

Из (2.69) и (2.70) следует соотношение

аналогичное уравнению непрерывности (1.48). Интегрируя (2.71) по объему V, приходим к закону сохранения магнитных зарядов:

где S-замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, dS = n_odS, n₀ - орт внешней нормали к поверхности S.

Таким образом, система уравнений Максвелла, учитывающая сторонние электрические и магнитные источники, имеет вид

Полная система уравнений Максвелла для монохромати­ческого поля состоит из двух уравнений:

так как третье и четвертое уравнения Максвелла в этом случае могут быть получены из (2.74), уравнения непрерывности (1.116) и соотношения div j^м + iωρ^м = 0, вытекающего из (2.71).