1.7.2. Граничные условия для касательных составляющих векторов электрического и магнитного полей

Граничные условия для касательных составляющих векторов электрического и магнитного полей могут быть получены соот­ветственно из второго (1.37) и первого (1.31) уравнений Максвелла в интегральной форме. В рассматриваемом случае можно считать, что контур Г в уравнении (1.37) не зависит от времени. Поэтому, внося производную по t под знак интеграла, получаем

Сравнивая (1.90) с первым уравнением Максвелла (1.31), замечаем, что равенство (1.90) формально может быть получено . из уравнения (1.31), если в последнем положить j = 0 и заменить Н на Е и D на В. Следовательно, можно ограничиться выводом граничного условия для касательной составляющей вектора Н из (1.31), а затем с помощью указанных преобразований получить граничное условие для касательной составляющей вектора Е.

Пусть S_o - граница раздела двух изотропных сред, характе­ризуемых параметрами соответственно. Из произвольной точки M_ЄS проведем единичную нормаль n₀, на­правленную из второй среды в первую (рис. 1.15). Через n₀ проведем плоскость Р. На линии пересечения поверхности раз­дела S_o с плоскостью Р выделим достаточно малый отрезок Δl содержащий точку М. Размеры от­резка должны быть такими, чтобы, во-первых, его можно было счи­тать прямолинейным, а во-вторых, чтобы распределение касательной составляющей вектора Н в преде­лах Δl в обеих средах можно было считать равномерным. В плоскос­ти Р построим прямоугольный кон­тур ABCD, как показано на рис. 1.15.

Стороны АВ и CD параллельны Δl и находятся в разных средах. -Кроме того, в точке М проведем единичную касательную τ₀ к линии пересечения поверхности раздела S с плоскостью Р и единичную нормаль N_o к плоскости Р так, чтобы орты п₀, τ₀ и N_o составляли правую тройку векторов:

а обход контура ABCD образовывал правовинтовую систему с век­тором N_o- Применим к контуру ABCD первое уравнение Максвелла (1.31):

где ΔS - площадь, охватываемая контуром ABCD, a dS = N_odS. Левую часть этого равенства можно представить в виде суммы четырех интегралов:

Отметим, что стороны ВС и DA параллельны и равны 2 Δh, а на­правление элемента dl определяется выбранным обходом конту­ра:

Устремляя Δh к нулю (при этом стороны АВ и CD рассматри­ваемого контура совпадут с Δl) и учитывая, что функции Н и dDldt являются ограниченными, приходим к соотношениям

где Н₁ и Н₂ - значения вектора Н на границе раздела S в первой и второй средах соответственно, а Н_1τ и H_2τ- проекции векторов Н₁ и Н₂ на касательную τ₀. Используя эти соотношения при переходе к пределу при Δh→0 в уравнении (1.92), получаем

Если на границе раздела отсутствуют поверхностные токи, правая часть равенства (1.93) равна нулю. В этом случае каса­тельная составляющая вектора Н оказывается непрерывной:

Касательная составляющая вектора В, наоборот, претерпевает разрыв, величина которого определяется отношением магнит­ных проницаемостей:

Особый интерес представляет случай, когда токи распределе­ны вдоль поверхности раздела в виде бесконечно тонкого слоя. Такие токи называют поверхностными. Плотность поверхностных токов (ее часто называют также поверхностной плотностью) опре­деляется соотношением

где i₀- единичный вектор, указывающий направление движения положительных зарядов в данной точке; ΔL-элемент линии, пер­пендикулярный вектору i₀; Δ/-ток, протекающий через ΔL (рис.1.16). Плотность поверхностных токов измеряется в амперах на метр (А/м). В этом случае правая часть равенства (1.95) уже не будет равна нулю. Считая распределение поверхностного тока на отрезке ΔL равномерным (если это не выполняется, нельзя счи­тать равномерным распределение касательной составляющей вектора Н), преобразуем правую часть указанного равенства сле­дующим образом:

где j_sn - проекция вектора j_s на направление N_o. Подставляя это выражение в (1.93) и деля обе части получающегося равенства на Δl, приходим к соотношению

Уравнение (1.97) справедливо для любого направления каса­тельной τ_o, и его можно переписать в векторной форме

где Н₁ и Н₂ - значения вектора Н у границы раздела в первой и во второй средах соответственно.

Уравнения (1.97) и (1.98) показывают, что при переходе через границу раздела, по которой текут поверхностные токи, касатель­ная составляющая вектора Н претерпевает разрыв, величина ко­торого определяется значением плотности поверхностных токов в рассматриваемой точке. Переходя в уравнении (1.97) к касатель­ным составляющим вектора В, получаем

Отметим, что поверхностные токи, как и поверхностные заря­ды, обычно вводят для упрощения расчетов вместо реального тон­кого слоя токов, когда не интересуются распределением поля внутри слоя. В каждой точке внутри реального токового слоя каса­тельная составляющая вектора Н непрерывна, но ее значения по разные стороны слоя отличаются на конечную величину. Поэтому при замене реального токового слоя бесконечно тонким (т.е. по­верхностными токами) приходится считать, что H_τ изменяется скачком.

Граничное условие для касательной составляющей вектора Е может быть формально получено из равенства (1.97) на основе i указанных выше изменений. Полагая в (1.97)j_SN = О и заменяя ка­сательные составляющие вектора Н на соответствующие каса­тельные составляющие вектора Е, приходим к соотношению:

Равенство (1.99) показывает, что касательная составляющая вектора Е непрерывна при переходе через границу раздела двух сред. Касательная составляющая вектора D, наоборот, претерпе­вает разрыв, величина которого зависит от соотношения между диэлектрическими проницаемостями. Выражая E_1τ и Е_2τ в равенст­ве (1.99) через D_1τ и D_2τ, получаем

Граничные условия, полученные для составляющих векторов электрического поля, показывают, что на границе раздела векторы Е и D преломляются. Обозначим углы между нормалью п₀ к по­верхности раздела и векторами Е₁ и Е₂ соответственно через си и α₂ (рис. 1.17). Так как то, используя граничные условия (1.86) и (1.99), получаем, что при отсутствии поверхностных зарядов на границе раздела справедливо следую­щее соотношение:

В изотропных средах векторы Е и D направлены одинаково. Поэтому со­отношение (1.100) определяет также преломление вектора D. Очевидно, аналогичное соотношение может быть получено и для векторов магнитного поля. Пусть α₁ и α₂- углы между нор­малью п₀ и векторами H₁ и Н₂. Тогда, как следует из уравнений (1.89) и (1.94), имеет место соотношение

В случае изотропных сред это равенство определяет также изме­нение ориентации вектора В.