1.7. Граничные условия

1.7.1. Граничные условия для нормальных составляющих векторов электрического и магнитного полей

Уравнениями Максвелла в дифференциальной форме удобно пользоваться при анализе электромагнитных полей в средах, параметры ε, μ и σ а которых - непрерывные функции координат (или не зависят от координат). На практике, однако, рассма­триваемая область может состоять из двух (и более) разнородных сред. При анализе макроскопических свойств поля обычно счи­тают, что параметры ε, μ и σ (или по крайней мере один из них) на границе раздела сред меняются скачком. При этом пользоваться уравнениями Максвелла в дифференциальной форме на границе раздела неудобно, и для изучения поведения векторов поля при переходе из одной среды в другую следует исходить из уравнений Максвелла в интегральной форме (1.54).

Соотношения, показывающие связь между значениями сос­тавляющих векторов электромагнитного поля в разных средах у поверхности раздела, называют граничными условиями.

Граничные условия для нормальных составляющих векторов электрического и магнитного полей могут быть получены соот­ветственно из третьего (1.43) и четвертого (1.46) уравнений Максвелла в интегральной форме. Сравнивая эти уравнения, за­мечаем, что равенство (1.46) может быть формально получено из уравнения (1.43), если в последнем заменить D на В и положить ρ = 0. Поэтому ограничимся выводом граничного условия для нормальной составляющей вектора D, а из него указанными преобразованиями получим граничное условие для нормальной составляющей вектора В.

На поверхности раздела S_o двух изотропных сред, харак­теризуемых параметрами соответственно, в. окрестности произвольно выбранной точки М выделим достаточно малый элемент . Элемент ΔS должен быть достаточно мал, чтобы, во-первых, его можно было считать плоским, а, во- вторых, чтобы в обеих средах распре­деление нормальной компоненты век­тора D можно было считать равно­мерным в пределах ΔS.

Построим на элементе ΔS пря­мой цилиндр высотой 2Δ/h так, чтобы его основания находились в разных средах (рис.1.14), и применим к нему третье уравнение Максвелла в интег­ральной форме (1.43):

Если заряд не сосредоточен на поверхности раздела,

т.е. не является поверхностным, то при любой конечной величине объемной плотности заряда р правая часть формулы (1.82) равна нулю, а нормальная компонента вектора D непрерывна при пе­реходе из одной среды в другую:

Особый интерес представляет случай, когда заряды расп­ределены вдоль поверхности раздела в виде бесконечно тонкого слоя. Такие заряды называют поверхностными и характеризуют плотностью поверхностных зарядов p_s (ее часто называют также поверхностной плотностью зарядов), определяемой соотношением

где ∆Q - заряд на элементе поверхности ∆S. Как видно из (1.84), ρ_s измеряется в кулонах на квадратный метр (Кл/м²).

Пусть теперь на границе раздела имеются поверхностные заряды с плотностью ρ_s. В этом случае правая часть уравнения (1.82) уже не будет равна нулю. Считая распределение заряда на площадке ΔS равномерным (в противном случае нельзя считать равномерным распределение D_1n и D_2n), разделим обе части уравнения (1.82) на ΔS. В результате получим

D_1n-D_2n=ρ_s. (1.85)

Соотношение (1.85) показывает, что при переходе из одной среды в другую нормальная компонента вектора D претерпевает разрыв (скачок), равный плотности поверхностных зарядов, рас­пределенных по границе раздела. Выражая в этом соотношении D_1n и D_2n через Е_1n и Е_2п с помощью равенства D = εE, получаем граничное условие для нормальных компонент вектора Е:

Если на границе раздела отсутствуют поверхностные заряды, то условие (1.86) можно представить в виде

Соотношение (1.87) показывает, что нормальная составляющая вектора Е при переходе через незаряженную поверхность раздела двух сред имеет разрыв, величина которого определяется от­ношением диэлектрических проницаемостей этих сред. Наличие плотности поверхностных зарядов ρ_s в рассматриваемой точке приводит к изменению величины разрыва, увеличивая или умень­шая его. При определенном значении ρ_s нормальная состав­ляющая вектора Е может даже оказаться непрерывной.

Отметим, что поверхностные заряды обычно вводят для упрощения расчетов вместо реального тонкого слоя зарядов, когда не интересуются распределением поля внутри слоя. В каждой точке внутри реального заряженного слоя составляющая D_n непрерывна, но ее значения по разные стороны слоя отличаются на конечную величину. Поэтому при замене реального слоя зарядов бесконечно тонким (т.е. поверхностными зарядами) при­ходится считать, что D_n изменяется скачком.

Граничное условие для нормальной составляющей вектора В, как уже отмечалось, формально может быть получено из (1.85), если положить ρ_s=0 и заменить D_1n и D_2n на В_1л и В_2n соот­ветственно. При этом придем к соотношению

Из (1.88) следует, что составляющая В_n непрерывна при переходе через границу раздела двух сред. В свою очередь, нормальная составляющая вектора Н имеет разрыв, величина которого определяется отношением магнитных проницаемостей. Выражая в равенстве (1.88) B_1n и В_2n через H_1п и Н_2п, получаем