1.6. Уравнения максвелла для

МОНОХРОМАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

1.6.1. Метод комплексных амплитуд

Все реальные электромагнитные процессы можно предс­тавить либо в виде суммы дискретных гармонических колебаний, либо в виде непрерывного спектра гармонических колебаний. Поэтому изучение гармонических во времени электромагнитных полей представляет большой практический и теоретический интерес. Такие поля часто называют также монохроматическими. В буквальном переводе "монохроматический" означает "одно­цветный". Название взято из оптики: как известно, каждому цвету соответствуют колебания определенной частоты.

Анализ гармонических процессов существенно упрощается при использовании метода комплексных амплитуд. В этом случае вместо любой скалярной функции, изменяющейся по закону

где ψ_m - амплитуда; φ - начальная фаза; ω = 2πf = 2π/T; a f и T-частота и период гармонического колебания, вводится в рас­смотрение комплексная функция

Величину принято называть комплексной амплитудой функции ψ. Для перехода от комплексной функции ψ к исходной функции ψ нужно взять от ψ реальную часть

Аналогично вместо вектора

можно ввести в рассмотрение комплексный вектор

- комплексная амплитуда вектора а.

Для перехода от комплексной амплитуды а_м к мгновенному «значению исходной функции нужно вычислить реальную часть произведения а_м на exp (i ψt):

Отметим, что в общем случае вместо разложения вектора а по ортам декартовой системы координат (1.58) может оказаться необходимым разложение по каким-либо другим ортогональным векторам, что не вносит в рассмотрение никаких принципиальных изменений. Если функции а и ψ удовлетворяют линейным урав­нениям, то таким же уравнениям будут удовлетворять соответ­ствующие комплексные функции а и ψ. Однако определение комплексных функций во многих случаях оказывается проще опре­деления исходных функций. Это объясняется тем, что диффе­ренцирование комплексной функции по времени равносильно умножению ее на а интегрирование по времени -делению на

1.6.2. Уравнения Максвелла в комплексной форме

Уравнения Максвелла являются линейными дифферен­циальными уравнениями. Поэтому при изучении монохромати­ческих электромагнитных полей можно вместо векторов Е и Н рассматривать комплексные векторы

Уравнение (1.62) является первым уравнением Максвелла для монохроматического поля. Величина е, определяемая формулой

(1.61), характеризует электрические свойства среды и называется комплексной диэлектрической проницаемостью среды. Ее зна­чение зависит от частоты. Входящая в (1.61) величина ст/(сое) равна отношению амплитуд плотностей тока проводимости и тока сме­щения (подробнее об этом - в 1.6.3) и называется тангенсом угла электрических потерь (рис. 1.13):

Отметим, что комплексная диэлектрическая проницае­мость е определяется выражением (1.61) только в тех случаях, когда можно пренебречь поляризационными поте­рями, т.е. потерями энергии на периодическое изменение поляризации среды. Если этими потерями пренебречь нельзя, следует считать, что

-вещественные числа, отношение которых определяет фазовый сдвиг между векторами D и Е. При этом входящая в (1.62) комплексная диэлектрическая проницаемость

где Для перехода от общей формулы (1.65) к

(1.61) достаточно положить

В случае анизотропной по отношению к электрическому полю &реды комплексная диэлектрическая проницаемость является Гензором. Конкретный вид тензора || ε || зависит от свойства среды.

Рассмотрим второе уравнение Максвелла для изотропной среды. Переходя в (1.39) к комплексным векторам и учитывая соотношение (1.17), получаем

При вещественных значениях μ- векторы В и Н изменяются сεεинфазно, что эквивалентно предположению об отсутствии маг­нитных потерь (затрат энергии на поддержание периодически изменяющейся намагниченности среды). Несинфазность векторов

ВиН в случае гармонических во времени электромагнитных процессов можно учесть, введя комплексную магнитную про­ницаемость

Рассмотрим третье уравнение Максвелла. Переходя в (1.44) к комплексным функциям и учитывая соотношение (1.5), получаем

Если требуется учесть поляризационные потери, то в уравнении (1.69) следует ε заменить на ε (см. формулы (1.64) и (1.65)).

Четвертое уравнение Максвелла в комплексной форме имеет вид

Если среда характеризуется комплексной магнитной прони­цаемостью, в уравнении (1.70) следует заменить μ на μ

Выпишем также уравнение непрерывности для монохро­матического поля. Переходя в (1.48) к комплексным функциям,

получаем

Преобразуем равенство (1.69) с учетом уравнения непре­рывности. Из (1.71) следует, что Под­ставляя это равенство в (1.69), имеем

Третье уравнение Максвелла в комплексной форме (1.72) является следствием первого уравнения Максвелла. Действи­тельно, беря дивергенцию от обеих частей равенства (1.62) и учитывая, что div rot H=О, приходим к уравнению (1.72). Анало­гично уравнение (1.70) является следствием второго уравнения

Максвелла.

Рассмотрим третье и четвертое уравнения Максвелла для частного случая однородной изотропной среды. Так как параметры такой среды не зависят от координат, то уравнения (1.72) и (1.70) упрощаются и принимают вид

и

Таким образом, в качестве полной системы уравнений Максвелла для монохроматического поля можно использовать систему двух уравнений

Переходя в (1.75) к комплексным амплитудам векторов Е и Н, получаем

Напомним, что при анализе поля в среде без потерь в уравнениях (1.75) и (1.76) следует заменить соответственно.

Уравнение непрерывности (1.71) также можно записать для комплексных амплитуд

(1.77)