14.2. Фильтры свч

14.2.1. Классификация фильтров

Идеальным фильтром называется четырехполюсник, модуль коэффициента передачи которого | S₂₁| равен единице на всех частотах, образующих его полосу пропускания, и равен нулю на всех частотах, образующих его полосу заграждения. На практике фильтры обычно характеризуют вносимым затуханием (выра­женным в децибелах):

В полосе пропускания идеального фильтра В_ф = 0, а в полосе заграждения В_ф=∞. По взаимному расположению полос пропус­кания и заграждения фильтры делятся на фильтры нижних час­тот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые фильт­ры (ПФ) и режекторные (заграждающие) фильтры (РФ). Ампли­тудно-частотные характеристики идеальных фильтров каждого ти­па показаны на рис. 14.22. В идеальных фильтрах в полосе заграждения мощность, поданная на вход,

не проходит на выход. Она либо полностью отражается от входа фильтра, либо поглощается в его элементах. В первом случае фильтры относятся к фильтрам отражающего типа, во втором -к фильтрам поглощающего ти­па. Отметим, что полная величина вносимых фильтром потерь складывается из тепловых потерь и потерь, вызванных отраже­нием части энергии от его входа.

Рассмотрим фильтры отражающего типа. Для уменьшения тепловых потерь такие фильтры выполняются, как правило, из реактивных элементов. Параметры реактивных элементов подби­раются так, чтобы на частотах полосы пропускания отраженные от них волны компенсировали друг друга на входе фильтра; при этом мощность, поступающая на вход фильтра, проходит на его выход практически без отражений. На частотах полосы заграждения компенсация отраженных волн отсутствует и мощность, посту­пающая на вход фильтра, практически полностью отражается от него.

Синтез фильтров отражающего типа включает два основных этапа: на первом этапе по исходным данным синтезируют экви­валентную схему фильтра, состоящую из реактивных элементов с сосредоточенными параметрами; на втором этапе проводят реа­лизацию синтезированной эквивалентной схемы, т.е. заменяют со­средоточенные индуктивности и емкости отрезками линий пере­дачи, реактивными стержнями и диафрагмами и другими неод- нородностями в линии передачи. В технике СВЧ широкое приме­нение получили так называемые лестничные отражающие фи­льтры. Эквивалентные схемы таких фильтров совпадают со схе­мой лестничных фильтров, используемых на низких частотах и выполняемых из элементов L и С с сосредоточенными парамет­рами; подобные схемы подробно рассматриваются в курсе "Теория линейных электрических цепей" [28].

14.2.2. Синтез эквивалентных схем фильтров

Рассмотрим синтез экивалентной схемы ФНЧ, выполненной по лестничной схеме. Такая схема, состоящая из п элементов L и С, показана на рис. 14.23. Внутреннее сопротивление R_r генера­тора, подключенного ко входу схемы, и сопротивление R_H нагрузки на ее выходе считаем активными и равными друг другу. Отметим, что во многих практических приложениях главное значение имеет АЧХ фильтра, в то время как другие характеристики (фазочастотная характеристика, характеристика группового времени заде­ржки и др.) обычно рассматриваются и при необходимости кор­ректируются после получения желаемой АЧХ фильтра. Ниже рас­сматривается синтез эквивалентных схем фильтров по заданной

АЧХ. Идеальную АЧХ для ФНЧ (рис. 14.22, а) невозможно получить с помощью схемы, имею­щей конечное число элементов п. Поэтому обычно используют более приемлемый для практики способ задания требований к АЧХ: в диапазоне частот 0≤f≤f_c (полоса пропускания) величина вносимого затухания не должна превышать заданную величину B_ф1, а в полосе f₃≤f<∞ (полоса заграждения) вносимое затухание должно быть больше заданной величины В_ф2 (рис. 14.24). Указанную идеализированную АЧХ аппроксимируют той или иной функцией.

Наибольшее распространение на практике получили два вида аппроксимации: максимально плоская и чебышевская. В первом случае вносимое затухание для п-звенного фильтра описывается функцией, предложенной Баттервортом [35]:

разных п показана на рис. 14.25, а. Как следует из рисунка, при f<<f_c B_ф≈0 и не зависит от частоты. Подобная АЧХ максимально приближена к идеальной АЧХ в полосе пропускания, отсюда и ее название -максимально плоская АЧХ. При фиксированных вели­чинах f_C, В_ф1и f₃ увеличение числа элементов в схеме п приводит к возрастанию величины В_ф2 (см. рис. 14.25,а) или при фиксиро­ванных величинах f_c, В_ф1 и B_ф2-к уменьшению разницы между f₃ и f_c, т.е. увеличивается крутизна АЧХ.

Во втором случае АЧХ фильтра аппроксимируется с помощью полиномов Чебышева [35]:

Типичная чебышевская АЧХ фильтра нижних частот показана при разных п на рис. 14.25, б. В полосе пропускания подобная АЧХ имеет осциллирующий характер с неизменной амплитудой осцил­ляции. Увеличить крутизну АЧХ при неизменной амплитуде ос­цилляции можно, лишь используя схему, с большим числом эле­ментов п. Основное преимущество чебышевских фильтров по сравнению с максимально плоскими-меньшее число элементов в схеме при одинаковых значениях В_ф1, B_ф2, f_c и f₃.

Отметим, что при передаче через фильтр электромагнитных сигналов с достаточно широким спектром частот (широкополосные сигналы) важное значение имеет вид фазочастотной характеристики (ФЧХ) фильтра; ФЧХ-это зависимость аргумента <p₂i коэффициента передачи фильтра от частоты. Предполагается, что у идеального фильтра ФЧХ является ли­нейной функцией частоты. При этом широкополосный сигнал проходит через такой фильтр без искажений. При одинаковых исходных данных ФЧХ максимально плоского фильтра более близка к линейной, чем аналогичная характеристика чебышевского фильтра.

Из (14.5) и (14.6) можно получить следующие формулы для

определения числа звеньев в схеме фильтра:

для максимально плоского фильтра

На практике, как правило, синтез эквивалентных схем фи­льтров разных типов проводят с помощью синтеза схемы фильтра-прототипа нижних частот. Схема такого фильтра совпадает со схемой ФНЧ (рис.14.23) и имеет такое же число звеньев, а параметры его элементов обозначаются буквами g_1,g_2,…,g_n(g₀ g _n+1) соответствуют активным сопротивлениям генератора и наг­рузки). Эти параметры (иногда их называют g-параметрами) явля­ются нормированными параметрами элементов ФНЧ, так как они равны параметрам элементов ФНЧ при ω_с = 1 рад/с и R_H=R_r=1 Ом. Для фильтра-прототипа g-параметры определяют по следующим формулам [34]:

для максимально плоского фильтра

Отметим, что для максимально плоских фильтров элеметы c одинаковыми значениями g в схеме (рис. 14.23) расположены сим­метрично относительно середины фильтра как для четных, так и для нечетных значений п. Поэтому ко входу и выходу фильтра

должны подключаться одинаковые сопротивления g₀ = g _n+1 чебышевских фильтров указанное свойство выполняется лишь для нечетного числа звеньев в схеме, при п четном симметрия на­рушается и получается g₀ ≠g _n+1При необходимости подключения одинаковых сопротивлений ко входу и выходу чебышевского филь­тра с четным числом звеньев (например, если фильтр встраи­вается в линию передачи с заданным волновым сопротивлением) следует включить в схему такого фильтра дополнительный транс­форматор сопротивлений.

Исходными данными при синтезе эквивалентной схемы ФНЧ являются следующие величины (рис. 14.24): f_c, f₃, В_ф1, B_ф2, R_H и вид АЧХ. Вначале с помощью исходных данных вычисляют по (14.7) или (14.8) число звеньев в эквивалентной схеме фильтра. Затем по формулам (14.9) или (14.10) рассчитывают g-параметры эле­ментов схемы фильтра-прототипа. Для получения формул, свя­зывающих величины индуктивностей и емкостей эквивалентной схемы ФНЧ с g-параметрами, приравняем нормированные прово­димости (умноженные на R_H) элементов, образующих параллель­ные ветви схемы, и нормированные сопротивления (деленные на R_Н) элементов, образующих последовательные ветви схемы, проводимостям и сопротивлениям соответствующих элементов фильтра-прототипа:

Рассмотрим синтез эквивалентной схе­мы ПФ, выполненной по лестничной схеме. Такая схема, состоящая из п последо­вательных и параллельных контуров из L и С, изображена на рис.14.26. И в этом слу­чае при синтезе эквивалентной схемы испей. льзуют идеализированную АЧХ (рис. 14.27),

для которой в полосе пропускания фильтра f_H≤f≤f_B вносимое затухание В_ф≤В_ф1, а в полосе заграждения f≤f₃₁ и f≥f₃₂ вносимое затухание В_ф>В_ф2. Для максимально плоской аппроксимации этой АЧХ используется функция (14.5), а для чебышевской-функция (14.6), в которой необходима следующая замена частотной пере­менной:

Следует отметить, что при замене (14.13) АЧХ фильтра-прототипа переходит в АЧХ полосового фильтра (на рис. 14.28 показано преобразование максимально плоской АЧХ).

Исходными данными при синтезе эквивалентной схемы ПФ (см. рис. 14.27) являются следующие величины: f_H, f_В, f₃₁ f₃₂, В_ф1, В_ф2, R_Н и вид АЧХ. Вначале с помощью исходных данных вычи­сляют по (14.7) или (14.8) при общее число контуров п в эквивалентной схеме фильтра, равное числу элементов в схеме фильтра-прототипа. Затем по формулам (14.9) или (14.10) рассчитывают g-параметры элементов схемы фильтра-прототипа. Действуя как и в случае синтеза эквивалентной схемы ФНЧ, несложно получить следующие формулы для расчета параметров элементов контуров эквивалентной схемы ПФ через g-параметры фильтра-прототипа:

в случае параллельных контуров

Аналогичным образом, используя результаты синтеза филь­тра-прототипа и выбирая соответствующую замену частотной пе­ременной в аппроксимирующей функции для АЧХ, синтезируются эквивалентные схемы фильтров верхних частот и режекторные фильтры [35].

Рассмотрим еще одну эквивалентную схему фильтров, выполненную по лестничной схеме. Если в формулах (14.5) или (14.6), аппроксимирующих АЧХ фильтра прототипа (рис.14.23), использовать следующую замену частотной пере­менной где l- длина отрезка линии передачи, по которой распространяется волна с фазовой скоростью v_ф, АЧХ фильтра-прототипа пере­ходит в АЧХ, имеющую вид периодической функции частоты (на рис.14.29 показано подобное преобразование для максимально плоской АЧХ). При подобной замене частотной переменной реактивное сопротивление любого индуктивного элемента в схеме фильтра-прототипа (см. рис.14.23) переходит во входное реактивное сопро­тивление короткозамкнутого шлейфа длиной I (12.28), т.е. волновое сопротивление шлейфа. Аналогично реак­тивная проводимость любого емкостного элемента в схеме рис.14.23 переходит во входную реактивную проводимость разомкнутого шлейфа длиной l (см. формулу (12.28)), т.е. волновое. сопротивление шлейфа. Значит, схема фильтра-прототипа рис.14.23 переходит в схему рис. 14.30, образованную последовательно и параллельно подключенными короткозамкнутыми и разомкнутыми реактивными шлейфами.

В отличие от ранее рассмотренных экви­валентных схем фильтров, содержащих элементы L и С с сосредоточенными пара­метрами, схема рис.14.30 содержит эле­менты (отрезки линий), размеры которых соизмеримы с длиной волны.

Такие эле­менты называют элементами с распре­деленными параметрами. Схемы, содер­жащие элементы с распределенными па­раметрами, имеют периодические АЧХ, что связано с периодическими свойствами от­резка линии передачи. Поэтому поведение схемы рис.14.30 зависит от соотношения l/А. Например, на частотах, для которых на рис.14.29), схема ведет себя как ФНЧ; при - как ФВЧ; при 0 < l < Λ/2 - как режекторный фильтр, а при - как ПФ и т.д. Причем если схема рис.14.30 используется в качестве ПФ, то подобный фильтр будет иметь множество полос пропускания, центры которых находятся на частотах, соответствующих длинам волн в линии