12.1.4. Круговая диаграмма полных сопротивлений

Основные параметры, характеризующие процессы передачи энергии по линии с волновым сопротивлением Z_B, нагруженной на произвольное сопротивление Z_H, можно определить по формулам (12.14) и (12.25). Однако работа с комплексными числами, наличие гиперболических функций от комплексного аргумента в формуле (12.25) усложняют расчеты. Если требуемая точность вычислений не превышает двух значащих цифр, расчеты существенно упро­щаются при использовании круговой диаграммы полных сопро­тивлений. Диаграмма основана на графическом представлении коэффициента отражения Г(z) и нормированного полного эквива­лентного сопротивления z_n(z) = Z_n(z)/Z_B в произвольном сечении линии передачи. Эти параметры связаны вытекающим из (12.22) соотношением

Равенство (12.31) в прямоугольных координатах и, v опре­деляет семейство ^окружностей с центрами в точках и=r/(1 +r), v= 0 и радиусами, равными 1/(1 +r). Эти окружности показаны на рис.12.9. Каждой окружности соответствует определенное зна­чение активной части полного нормированного сопротивления (r= = const). Все окружности проходят через точку с координатами и = 1 и v= 0, а их центры лежат на оси переменной и.

Отметим, что в переводной литературе обычно ось U располагают горизонтально, а ось V вертикально, что соответ­ствует повороту диаграммы полных сопротивлений, изображенной в данной главе, на 90° по часовой стрелке.

Равенство (12.32) в декартовых координатах и, v также определяет семейство окружностей с центрами в точках u = 1, v=1/x и с радиусами, равными 1/х (рис.12.10). Все окружности проходят через точку с координатами и =1, v=0, а их центры лежат на прямой линии, проходящей через эту точку параллельно оси переменной v. Каждой окружности (рис.12.10) соответствует определенное значение реактивной части полного нормированного сопротивления (х = const). Окружности, лежащие в полуплоскости v>0, соответствуют положительным (индуктивным) х, а в полу­плоскости v<0-отрицательным (емкостным) х.

Диаграмма полных нормированных сопротивлений (рис.12.11) представляет собой круг единичного радиуса, центр которого расположен в начале координат и, v. В этом круге совмещены оба семейства окружностей (см. рис.12.9 и 12.10). Значения активного нормированного сопротивления r указаны на вертикальной оси, проходящей через центр диаграммы, значения реактивного норми­рованного сопротивления х (индуктивного или емкостного) указаны по периметру внешней окружности диаграммы. Отметим, что на­несенная координатная сетка в виде семейств окружностей позво­ляет изобразить на диаграмме все возможные значения полного нормированного сопротивления. При этом полное нормированное сопротивление на диаграмме отображается точкой пересечения двух окружностей. Одна из них принадлежит семейству, изобра­женному на рис.12.9 и соответствует активной части сопротив­ления, а другая - семейству, показанному на рис.12.10, и соответ­ствует его реактивной части. Поскольку коэффициент отражения в любом сечении линии связан с полным нормированным сопро­тивлением в этом сечении равенством (12.30), то каждая точка диаграммы соответствует также определенному коэффициенту отражения. Для отсчета модуля (величины) и аргумента (фазового угла) коэффициента отражения на диаграмме используется поляр­ная система координат с началом в центре диаграммы. Для отсчёта модуля коэффициента отражения используется ради­альная шкала (рис. 12.12), на которую наносятся значения от 0 до 1. Поэтому расстояние от точки диаграммы до центра, отсчитанное по радиальной шкале, соответствует модулю коэффициента отражения, отображаемого данной точкой. Поскольку модуль | Г(2)| и КБВ связаны равенством (12.13), то на радиальную шкалу

наносят также значения КБВ от 1 в центре диаграммы до 0 на ее внешней окружности (см. дополнительные вертикальные оси на рис. 12.12). Иногда на диаграмму наносят семейство концент­рических окружностей (рис. 12.12), каждая из которых является геометрическим местом точек, имеющих заданные значения мо­дуля | Г(z) | или КБВ. Для отсчета аргумента коэффициента отра­жения используется азимутальная шкала (рис.12.12), на которую нанесены значения аргумента в пределах от -180° до +180°. Для определения значения аргумента, соответствующего данной точке диаграммы, следует из центра диаграммы провести через дан­ную точку прямую до пересе­чения с азимутальной шкалой и по последней отсчитать значе­ние аргумента.

Для точного вычисления ко­эффициента отражения Г(z) и полного нормированного сопро­тивления Zn(z) в произвольном сечении линии с координатой z=z₁ (см.рис.12.1,а) по известным

величинам в каком-либо сечении с координатой z=z₂ (например, на конце линии при z₂ = 0) для случая α= 0 можно воспользоваться формулами (12.30), (12.26), заменив в них z на l где l=z₁-z₂-расстояние между рассматриваемыми сечениями. В этом случае при перемещении по линии от сечения к сечению изменяется лишь аргумент коэффициента отражения, а его модуль остается неиз­менным. Анализ формул показывает, что величины Г(z) и Zn(z) при изменении расстояния l изменяются периодически с периодом Λ/2. Поэтому перемещение по линии передачи от одного сечения к другому отображается на диаграмме движением вокруг ее центра по окружности постоянного КБВ от одной точки к другой в ту или иную сторону. Для отсчета проходимого при этом расстояния используется еще одна азимутальная шкала, на которую нанесены значения нормированного расстояния l/Λ в пределах от 0 до 0,5 и указано направление перемещения - к генератору z₁>z₂) или нагрузке (z₁ <z₂) (рис.12.11). Например, пусть известно полное нор­мированное сопротивление z_A =r_А+iх_А в некотором сечении линии; этому сечению на диаграмме соответствует точка А (рис.12.13). Из центра диаграммы через точку А проводим пунктирную окружность и по радиальной шкале находим КБВ, в линии. Прямая из центра диаграммы через точку А пересечет азимутальную шкалу в точке В, что позволяет отсчитать (l/Λ)_А для заданного сечения линии. Чтобы определить полное нормированное сопротивление в сече­нии линии, отстоящем от заданного на расстояние Δl/Λ в сторону генератора, вычисляем для нового сечения нормированное рас­стояние и, откладывая его на азимутальной шкале, получаем точку С. Проводим прямую, соединяющую С с центром диаграммы. При ее пересечении с пунктирной окруж­ностью образуется точка D, соответствующая новому сечению линии. На диаграмме для точки D отсчитываем z_D =r_D+ix_D.

Как видно из диаграммы, перемещению вдоль линии пе­редачи от заданного сечения (точка А на рис.12.13) на рас­стояние Δl/Λ=0,5 соответствует перемещение по диаграмме от точки А по пунктирной окруж­ности на 360°, в результате чего мы снова попадаем в точку А, совершая один оборот вокруг центра диаграммы. Значит, точ­ка А на диаграмме соответст­вует не одному, а многим сечениям

линии передачи, отстоящим друг от друга на расстояние, равное целому числу полуволн в линии. Причем в пределах длины отрезка, равной половине длины волны в линии, есть два сечения, в которых полное нормированное сопротивление чисто активно. Этим сечениям на диаграмме соответствуют точки М и N (рис. 12.13). В сечении линии, которому соответствует точка М, аргумент коэффициента отражения Г(z) равен ±180°, поэтому в этом сечении напряжения падающей и отраженной волн находятся в противофазе, вследствие чего в этом сечении формируется минимум полного напряжения (см. рис. 12.3). При этом полное нормированное сопротивление чисто активно: z_M=r_M, где r_м=КБВ₁, а х_м=0. В свою очередь в сечении, которому соответствует точка N, аргумент коэффициента отражения Г(z) равен 0°, поэтому в этом сечении напряжения падающей и отраженной волн находятся в фазе, вследствие чего в нем формируется максимум полного напряжения (см. рис.12.3). Полное нормированное сопротивление чисто активно и равноz_N=r_N, где r_N= KCB₁ =1/КБВ_и a x_nN= 0.

С помощью диаграммы полных сопротивлений можно опре­делить не только полное нормированное сопротивление в произ­вольном сечении линии, но и полную нормированную проводи­мость. Как следует из (12.29), нормированное входное сопротив­ление четвертьволнового отрезка численно равно нормированной проводимости нагрузки, подключенной к его концу. В этом случае полная нормированная проводимость у__А =1/z_A =g_А+ib_А в неко­тором сечении (точка А на рис.12.13) равна полному нормиро­ванному сопротивлению z_F=r_F+ix_F в сечении (точка F на рис.12.13), отстоящем от исходного на расстояние Δl/Λ=0,25, т.е. Это означает, что диаграмма полных нормированных сопротивлений может использоваться и как диаг­рамма полных нормированных проводимостей.

С помощью диаграммы полных нормированных сопротив­лений можно проводить и более сложные расчеты, например опре­делять Г(z) и z_n(z) в произвольном сечении линии с учетом потерь в линии передачи или использовать диаграмму при отри­цательных значениях активной части комплексного сопротивления, например, если линия нагружена на активный полупроводниковый элемент (туннельный диод, диод Ганна, полевой транзистор и т.д.) при проектировании усилителей и генераторов. Более подробно о применении круговой диаграммы см. [30].