1.4. Уравнение непрерывности и закон

СОХРАНЕНИЯ ЗАРЯДОВ

Из первого и третьего уравнений Максвелла вытекает важное соотношение, называемое уравнением непрерывности. Возьмем дивергенцию от обеих частей равенства (1.33). Учитывая, что дивергенция ротора любого вектора равна нулю, и используя уравнение (1.44), получаем

Правая часть уравнения (1.33) представляет собой сумму плотностей тока проводимости и тока смещения, т.е. плотность полного тока j_noлн = j ⁺ dD/dt, поэтому уравнение (1.48) эквива­лентно условию divj_полн⁼0. Равенство нулю дивергенции какого-либо вектора означает непрерывность линий этого вектора. Следовательно, уравнение (1.48) показывает, что линии плотности полного тока являются непрерывными, в то время как линии плотностей токов проводимости и смещения могут иметь начало и конец. Например, линии плотности тока проводимости начинаются в тех точках пространства, где плотность зарядов уменьшается, и оканчиваются там, где плотность зарядов возрастает.

Уравнение (1.48) тесно связано с законом сохранения заряда и по существу является его дифференциальной формой. Закон сохранения заряда можно сформулировать следующим образом. Всякому изменению величины заряда, распределенного в неко­торой области, соответствует электрический ток /, втекающий в эту область или вытекающий из нее:

Покажем, что формулу (1.49) можно получить из уравнения (1.48). Проинтегрируем последнее по объему V. Преобразовывая левую часть получающегося равенства по теореме Остроград-ского-Гаусса, а в первой части меняя порядок интегрирования и дифференцирования, приходим к уравнению

совпадающему с (1.49). Ток полажителен (т.е. вытекает из объема V), если заряд уменьшается, и, наоборот, отрицателен (т.е. втекает в объем V), если заряд увеличивается.

Подчеркнем, что под током / в законе сохранения заряда пони­мается ток через всю поверхность S, ограничивающую объем V. Например, если в цилиндрическом проводнике мысленно выде­лить объем V, как показано на рис. 1.10, то ограничивающая этот

объем поверхность S будет состоять из трех частей: S = S₁ + S₂ + S_3l и при

определении / нужно учесть токи, про­текающие через оба торца (S₁ и S₂) и боковую поверхность (S₃) рассматри­ваемого цилиндрического объема V.

Закон сохранения заряда (1.50) был получен из уравнения непрерывности. Очевидно, можно было бы поступить наоборот: постулировать закон сохранения заряда как экспериментальный закон а из него независимо от уравнений Максвелла вывести

равнение непрерывности.

Используя уравнение непрерывности, можно обосновать постулированное ранее соотношение (1.28), определяющее вектор плотности тока смещения. Действительно, применяя теорему Стокса к левой части уравнения (1.27), выражающего закон

Ампера, приходим к равенству

Так как div rot H = 0, то из соотношения (1.51) следует, что div j = 0. Последнее равенство заведомо несправедливо для переменных процессов, так как в этом случае должно выполняться уравнение непрерывности (1.48), вытекающее из закона сохранения заряда (1.50). Чтобы уравнение (1.51) стало пригодным для переменных процессов, его надо видоизменить, добавив в его правую часть некоторую функцию, имеющую размерность плотности тока и удовлетворяющую условию, что ее дивергенция равна dp/dt. В качестве такой функции следует взять функцию дD/dt, так как указанное условие будет выполнено в силу третьего уравнения Максвелла (1.44). Получающееся при этом уравнение будет полностью совпадать с первым уравнением Максвелла (1.33).

Отметим, что уравнение (1.33) было получено Максвеллом на основе аналогичных рассуждений.