1.5. Описание дискретного канала

1.5.1. Описание приема сигналов. Обозначим дискретный сигнал через B(t). Элементарные сигналы b_i назовем передаваемыми или входными символами, которые определим цифрами m–ичной системы счисления (0,1,2,…,m-1).

Сигнал на входе представим последовательностью {B_i}, где i=…,-1,0+1,… - номер позиции, B_i – случайная дискретная величина.

Последовательность на выходе канала обозначим { }.

Будем считать, что синхронизация в канале идеальна. Для каждой i-й позиции возможно различить три события:

- правильный прием символа (b_i^*=b_i) с вероятностью _bi;

- ошибка (b_i^*b_i, b_i^*) с вероятностью _ei;

- стирание символа (b_i^*=) с вероятностью _i.

Если канал не стационарен, не симметричен и с неограниченной памятью, то вероятность изменения символа на данной позиции зависит от номера позиции, от значения данного и всех ранее переданных символов, от изменений всех ранее переданных символов.

Полное описание таких каналов задается системой условных вероятностей

i=…,-1,0+1,…, b_i(0,1,2,…,m-1), b_i^*(0,1,2,…,m-1, ).

Если рассматривать стационарные каналы, то переходные вероятности не зависят от i. Тогда .

Вероятность правильного приема _b, вероятность приема сигнала с ошибкой _e и вероятность стирания _ определятся соответственно по формулам:

, , .

Если канал без памяти (n=0), то он описывается матрицей переходных вероятностей P(b^*/b)=P_bb размером m(m+1)

Для канала без стирания отсутствует последний столбец.

1.5.2. Описание источника ошибок. Дискретный канал описывается методами , применимыми к случайным процессам.

Для канала с идеальной синхронизацией задается условный источник ошибок (ошибок со стиранием). Он выдает дискретный случайный процесс {E_i}, который называется последовательностью ошибок. При приеме каждая позиция {E_i} складывается с соответствующей позицией последовательности {B_i}. Эквивалентная схема замещения приведена на рис.1.5.

Символы последовательности {E_i} могут принимать значения e=0,1,…,m-1 для канала без стирания и значения e=0,1,…,m-1, для канала со стиранием.

Суммирование символов ошибок с символами передаваемых сигналов осуществляется по modm при e и по правилу b= при e=.

Символ е=0 называется правильным символом, е= - стертым символом, а e=1,2,…,m-1 - неправильными символами.

Рис.1.5

Поскольку P(b^*/b)=P(be/b)=P(e/b), то одномерное распределение символов для каждого е имеет вид

.

Канал, в котором статистика последовательности ошибок {E_i} не зависит от статистики входного процесса {В_i}, называется симметричным.

Этот канал определяется заданием статистики {E_i}, причем последняя зависит лишь от помех в непрерывном канале и от построения дискретного канала. Для этого канала

.

Вероятности правильного приема, стирания и ошибки не зависят от статистики передаваемых сигналов: _b=(Е=0), _=(Е=), _e=(e=1)+(e=2)+…+(e=m-1).

Для двоичного симметричного канала без памяти:

.

2. Описание дискретных каналов

2.1. Состояния дискретного канала

В зависимости от того, поражен или нет передаваемый выходной символ на позиции в передаваемой последовательности, будем различать два элементарных состояния канала – поражения (1) и не поражения (0).

Схема замещения канала приведена на рис.1.6 Состояния принимают значения s_i={0,1}. Обозначим последовательность состояний - {S_i}. Последовательность пораженных символов обозначим - {Z_i}, z_i=0,1,…,m-1,.

Рис.1.6

Задача источника состояний символа – вызывать отключение выхода канала от его входа. В этом случае срабатывает источник пораженных символов, т.е. s_i=0 , b_i^*=b_i, s_i=1  b_i^*b_i. Вероятность поражения сигнала – p_s=P(s=1), а вероятность не поражения сигнала - 1-p_s=Р(s=0). Сигналы z_i определяются только помехой. Между последовательностями {S_i}, {Z_i} и {E_i} установим связь на результатах следующего примера:

{B_i} 0 1 0 0 1 1 0 1 …

{S_i} 0 0 1 0 1 0 1 1 …

{Z_i} 0 0 0 1 0 1 1 1 …

{B_i^*} 0 1 0 0 0 1 1 1 …

{E_i} 0 0 0 0 1 0 1 0 …

Статистики {S_i} и {Z_i} определяются только каналом и не зависят от статистики входного процесса {B_i}. Статистики {S_i} и {Z_i} – полностью вероятностные преобразования {B_i}{B_i^*}.

Если рассматривать симметричный двоичный канал без стирания, то условная вероятность ошибки на пораженных позициях определяется =0,5, а результирующая вероятность ошибки _е=0,5_s.

Для моделей симметричных двоичных каналов без стирания вводят последовательности {D_i} двоичных состояний, d=0,1, в которых ошибки независимы, но имеют произвольные условные вероятности _d. Пусть ₀<₁ и тогда состояние d=0 называют хорошим, а d=1 - плохим. Пусть P(D=0)=1-_d, P(D=1)=_d. Тогда вероятность ошибки определится: _е=(1-_d)₀+_d₁. При ₀=0 и ₁=0,5 последовательности {D_i} и {Е_i} совпадают.

Задание статистики {D_i} и условных вероятностей ₀, ₁ полностью определяют вероятностные характеристики преобразования входного символа в выходной в симметричных двоичных каналах без стирания.