3.2. Проверочная матрица

Преобразуем соотношение (3.3) к виду

. (3.6)

Соотношениям (3.3) и (3.6) должны удовлетворять все символы кодовых комбинаций, поэтому эти соотношения называют проверочными.

Ели записать правило (3.6) формирования каждого контрольного элемента в виде последовательностей из нулей и единиц, где единицы на позициях, соответствующих информационным элементам, указывают, какие информационные разряды участвуют в образовании того контрольного элемента, на позиции которого в последовательности стоит единица, то получим k последовательностей. Запишем эти последовательности в прямоугольную таблицу размерности kn, называемую контрольной или проверочной матрицей

.

В первой строке матрицы H_k,n записано уравнение для формирования первого контрольного элемента:

b₁q₁₁ b₂q₂₁ b₃q₃₁…b_mq_m1c₁=0.

Во второй строке матрицы H_k,n записано уравнение для формирования второго контрольного элемента:

b₁q₁₂ b₂q₂₂ b₃q₃₂…b_mq_m2 c₂=0.

В третьей строке матрицы H_k,n записано уравнение для формирования третьего контрольного элемента:

b₁q₁₃ b₂q₂₃ b₃q₃₃…b_mq_m3 c₃=0.

В k-й строке матрицы H_k,n записано уравнение для формирования k-го контрольного элемента:

b₁q_1k b₂q_2k b₃q_3k…b_mq_mk c_k=0.

Пример. Код (6,3) можно построить с помощью образующей матрицы

.

Матрица имеет вид

.

Проверочная матрица

Уравнения формирования контрольных элементов: b₂b₃c₁=0, b₁b₃c₂=0, b₁b₂c₃=0.

Если информационная последовательность имеет вид 101, то c₁=1, c₂=0, c₃=1, а кодовая комбинация – 101101.

Таким образом, задание проверочной матрицы H_k,n является одним из способов описания группового кода (можно формировать кодовые комбинации).

Образующая и проверочная матрицы связаны проверочным соотношением

.

Если принимаемая кодовая комбинация ^* принадлежит кодовому множеству, то для нее выполняется соотношение (3.3), а матричное произведение

. (3.7)

Выполнение условия (3.7) свидетельствует об отсутствии ошибки в принятой кодовой комбинации ^*.

Если при передаче возникла ошибка e, то ^*=e и тогда

. (3.8)

Двоичная последовательность называется опознавателем (корректором или синдромом) ошибки. Опознаватель ошибки представляет собой k разрядное двоичное число d₁d₂,…,d_k. Опознаватель ошибки можно также получить, если применить к принятой кодовой комбинации ^* систему проверочных соотношений (3.6)

. (3.9)

Если все элементы d_i=0 (D=0), то в принятой кодовой комбинации ошибок нет.

Пример. Проверочная матрица кода (6,3)

.

Уравнения формирования контрольных элементов: b₂b₃c₁=0, b₁b₃c₂=0, b₁b₂c₃=0. Пусть ^*=110110 не содержит ошибок. Результаты проверок следующие: d₁=101=0, d₂=101=0, d₃=110=0. Тоже можно получить в результате умножения =(1х01х10х11х11х00х0, 1х11х00х11х01х10х0, 1х11х10х01х01х00х1)=(000).

Пусть e=000100, т.е. ^*=110010, тогда d₁=100=1, d₂=101=0, d₃=110=0. Таким образом, D=100 фиксирует наличие ошибки в принятой кодовой комбинации.

3.3. Условия обнаружения и исправления ошибок

Для исправления ошибок необходимо, чтобы различным ошибкам соответствовали различные значения синдрома, т.е

.

Отметим еще одно свойство проверочной матрицы. Групповой код имеет минимальное кодовое расстояние d, если любые d-1 или менее столбцов проверочной матрицы линейно независимы. Произведение (3.8) представим в виде

, (3.10)

где e_i - компонент вектора ошибки, h_i - i-й столбец проверочной матрицы, e_ih_i - произведение скаляра e_i на матрицу-строку h_i.

Следовательно, для обнаружения ошибок кратности d-1 и менее необходимо и достаточно, чтобы d-1 или менее столбцов проверочной матрицы были линейно независимыми.

Из условия (3.10) следует, что опознаватель ошибок можно получить поразрядным сложением тех столбцов h_i проверочной матрицы, которым соответствуют единицы на позициях комбинации ошибок.

Поскольку опознаватель одиночных ошибок содержит только одну единицу, то состав столбцов проверочной матрицы приобретает следующий смысл. В столбцах h_i проверочной матрицы записаны опознаватели одиночных ошибок, имеющих место в i-м разряде кодовой комбинации.

Применяя условия (3.8), (3.9) и (3.10), можно построить все возможные формы опознавателей обнаруживаемых и исправляемых кодом ошибок, которые сводятся в таблицу, называемую таблицей декодирования.

Поскольку получателю выдаются информационные разряды, то исправление ошибок в контрольных разрядах не производится.

Пример построения групповых кодов. Построить код для передачи 25 сообщений, который будет обнаруживать и исправлять одну ошибку.

При М=27 m=5, s=1, r=1, d=3. Число контрольных разрядов k=4.

Образующая и проверочная матрицы имеют вид

, .

Вид таблицы декодирования приведен в табл.5.1