2. Спектры модулированных сигналов
2.1. Спектры сигналов, модулированных по амплитуде
Спектры дискретных сигналов бесконечны и содержат постоянные составляющие. Поэтому дискретные сигналы не могут эффективно быть переданы по непрерывному каналу без применения модуляции. Спектр сигнала должен быть ограничен и перенесен в диапазон более высоких частот. Для этого применяется модуляция [14].
Переносчик сигнала описывается формулой: U=UМcos(0t+0), где UМ - амплитуда гармоники сигнала-переносчика; 0 - круговая (опорная) частота; 0 - начальная фаза.
При амплитудной модуляции (АМ) амплитуда модулированного сигнала изменяется по закону
,
где m - индекс амплитудной модуляции, который выбирается таким образом, что максимальное и минимальное значения U/UM должны быть равны +1 и –1.
Модулированный сигнал определится формулой
. (2.1)
Пусть f(t)=cos1t. На рис.4.9 приведены графики информационного сигнала f(t), сигнала переносчика и модулированного сигнала.
Рис.4.9
Наибольшее значение модулированного сигнала – U1=UМ(1+m) при cos1t=1, а наименьшее - U1=UМ(1-m). Огибающая модулированного сигнала повторяет форму информационного (первичного) сигнала. При m>1 возможна “перемодуляция”.
Для разложения напряжения по формуле (2.1) на гармонические составляющие применим правило cosxcosy=0,5cos(x-y)+0,5cos(x+y), получим
.
Спектр сигнала, модулированного по амплитуде, состоит из трех гармонических составляющих: несущей с частотой 0 и двух боковых – нижней с частотой (0-1) и верхней с частотой (0+1). На рис.4.10 приведен спектр модулированного сигнала.
Если спектр первичного сигнала состоит из двух гармонических составляющих с частотами 1 и 2, то в спектре модулированного сигнала будет две нижних и две верхних боковых составляющих. Спектр любого модулированного сигнала содержит верхнюю и нижнюю составляющие.
Рис.4.10
Чтобы построить спектр АМ сигнала, необходимо:
- сместить спектр модулированного (первичного) сигнала на интервал частот, равный несущей 0;
- построить зеркальное отображение смещенного спектра относительно спектральной линии на несущей частоте 0.
Полоса частот АМ сигнала равна (0+max)-(0-max)=2max, т.е. увеличилась в два раза по сравнению с полосой частот модулирующего сигнала.
Для уменьшения полосы частот модулированного сигнала, повышения помехоустойчивости и лучшего использования аппаратуры канала обычная модуляция заменяется передачей одной боковой полосы. Несущая и вторая боковая подавляются фильтрами. В этом случае полоса передаваемых частот сокращается более чем в два раза, при многоканальной передаче число каналов может быть удвоено.
2.2. Спектры сигналов, модулированных по частоте
При частотной модуляции амплитуда модулированного напряжения остается постоянной, а частота изменяется в соответствии с законом изменения модулирующего сигнала [14]. Напряжение, модулированное по частоте, изобразим в виде вектора U0const, который вращается с изменяющейся скоростью , как это показано на рис.4.11.
Мгновенное
значение напряжения U(t)
определится по формуле U=U0cos.
Так как =d/dt,
то
.
Постоянная
интегрирования определяет положение
вектора в начальный момент отсчета t=0,
т.е. 0=const.
Тогда мгновенное значение напряжения,
модулированного по частоте, определится
по формуле
.
Рис.4.11
Если - наибольшее изменение частоты (девиация частоты), то информационный сигнал - =0 + x(t).
Мгновенное значение напряжения определится
. (2.2)
При фазовой модуляции величины U0 и 0 постоянны, а фаза изменяется по закону: =0t+x(t)+ 0, где - девиация фазы (наибольшее отклонение вектора на временной диаграмме).
Мгновенное значение напряжения, модулированного по фазе, определится по формуле U=UФМ=U0cos=U0cos(0t+x(t)+ 0).
Пусть x(t)=cos1t и 0=0. Тогда мгновенное значение напряжения, модулированного по частоте, исходя из формулы (2.2) определим
. (2.3)
Величина =/1 называется индексом частотной модуляции. Частота модулированного сигнала изменяется по закону:
.
Очевидно, что max=0 + , min=0 - .
Для разложения сигнала по формуле (2.3) на гармонические составляющие применим разложение cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y). Тогда
UЧМ=U0cos(0t+sin1t)=
=U0cos(0t)cos(sin1t)-U0sin(0t)sin(sin1t); (2.4)
;
,
где J2k и J2k+1 - функции Бесселя четного и нечетного порядков.Учитывая, что sin(x)sin(y)=0,5cos(x-y)–0,5cos(x+y), cos(x)cos(y)=0,5cos(x-y)+0,5cos(x+y), получим окончательное разложение в ряд формулы (2.3)
UЧМ=U0(J0()cos0t-J1()cos(0-1)t+J1()cos(0+1)t-J2()cos(0-21)t+J2()cos(0+21)t- J3()cos(0-31)t+
+J3()cos(0+31)t - …) (2.5)
На рис.4.12 приведен спектр сигнала x(t)=cos1t при частотной модуляции.
Рис.4.12
Возможная девиация частоты зависит от требований к помехозащищенности передачи и ширины выделенной полосы частот. Чем больше , тем больше уровень восстановления первичного сигнала в приемнике и тем большую полосу должен иметь канал.
Исследуем, как зависит необходимая ширина спектра ЧМ-сигнала от индекса частотной модуляции .
Пусть 0, тогда в формуле (2.4) cos(sin1t)1, sin(sin1t)sin1t, а
UЧМ=U0cos0t-U0sin(0t)(sin1t)=
=U0cos0t-0,5U0cos(0+1)t+0,5U0cos(0-1)t.
Таким образом, при 0 спектр ЧМ-сигнала, как и спектр АМ-сигнала, состоит из трех гармоник. Следовательно, наименьшая ширина спектра такая же, как и у АМ-сигнала.
С ростом учитывается все большее число составляющих. Происходит перераспределение энергии по гармоникам, т.к. число их возрастает.
Частотная модуляция с небольшим называется узкополосной. При данной модуляции выдвигаются повышенные требования к стабильности несущей частоты.
Обычно для практически неискаженной передачи срезают все боковые составляющие, амплитуды которых не превышают 10-12% от амплитуды U0 несущей частоты.
При <1 достаточно передать по одной верхней и одной нижней боковой частоте. Ширина спектра при этом не зависит от девиации и равна 21.
При больших индексах модуляции >1 частотную модуляцию называют широкополосной. Ширина спектра примерно равна 2=(max - min) и не зависит от частоты модулирующего сигнала 1.