1.2. Представление произвольной периодической функции рядом Фурье

Пусть функция f(t) существует на бесконечном интервале времени (-<t<). Функция f(t) представима рядом Фурье на интервале (t₀,t₀+T). Если f(t) - периодическая функция, то покажем, что представление ее в виде ряда применимо ко всему интервалу (-,).

На интервале (t₀,t₀+T) функция имеет разложение

, (1.8)

а вне интервала правая и левая части равенства (1.8) могут не совпадать. Однако правая часть этого равенства является периодической функцией с периодом

.

Поэтому если f(t) - периодическая функция с периодом T=2/₀, то равенство (1.8) справедливо для всего интервала (-,). Выбор величины t₀ не является существенным фактором.

1. 3. Комплексный спектр сигнала

Разложение периодической функции f(t) с периодом Т показывает, что она имеет частотные составляющие с угловыми частотами ₀, 2₀, 3₀, …, n₀, … . Периодическая функция обладает своим спектром частот. Если известна f(t), то можно определить спектр и наоборот, по спектру найти f(t).

Следовательно, возможно временное и частотное представление функции f(t). При частотном представлении сигнала применяют спектр амплитуд и спектр фаз гармоник. Это дискретные (линейчатые) спектры, которые изображаются графически.

Применение разложения в экспоненциальный ряд является более предпочтительным. Периодическая функция выражается суммой экспоненциальных функций с частотами 0, ₀, 2₀ и т.д.

Значение отрицательных частот имеет следующее объяснение. Сигналы e^jt и e^-jt изменяются с одинаковой частотой . Их можно представить двумя векторами, вращающимися в противоположных направлениях. Эти вектора при сложении дают действительную функцию времени e^jt + e^-jt =2cost.

Коэффициент F_n является комплексным и характеризуется величиной и фазой, поэтому для частотного представления необходимы два спектра – спектр амплитуд и спектр фаз.

Рассмотрим пример. Пусть f(t)=Asint. Разложение f(t) в комплексный ряд имеет вид

, ₀=2, Т=1, ,

.

Спектр функции f(t) представлен на рис.3.1.

Рис.3.1

Амплитуды всех гармоник – действительные величины, поэтому необходим график одного спектра.

Спектр амплитуд любой периодической функции симметричен относительно оси 0y. Действительно, из формул (1.6) следует, что F_n и F_-n – комплексно сопряженные величины, т.е. F_n=F_-n^*, F_n=F_-n.

Следовательно, спектр амплитуд представляет собой четную функцию от . Если F_n - действительная величина, то и F_-n тоже действительная величина и F_n=F_-n. Если F_n – комплексная величина, то , , следовательно, спектр фаз – нечетная функция относительно оси 0y.

1.4. Представление произвольной функции на бесконечном интервале

Непериодический сигнал можно выразить непрерывной суммой (интегралом) экспоненциальных функций.

Существует два способа представления.

1. Функция f(t) выражается через экспоненциальные функции на конечном интервале (-T/2<t<T/2), а затем выполняется условие T.

2. Способ сводится к созданию периодической функции с периодом T, которая совпадает с f(t) только в пределах одного периода. При T оказывается, что периодическая функция имеет один единственный период на интервале (-<t<), что соответствует функции f(t).

Первый и второй способы существенно не различаются, но второй более удобен.

Пусть задана функция f(t), гипотетический вид которой показан на рис.3.2. Эту функцию надо представить на интервале (-<t<) суммой экспоненциальных функций.

Рис.3.2

Построим новую периодическую функцию, в которой f_Т(t) повторяется через Т секунд. Вид функции f_Т(t) показан на рис.3.3.

Рис.1.3

При T будет выполняться условие . Таким образом, ряд Фурье, представляющий функцию f(t) на бесконечном интервале, будет также представлять f(t) при T=.

Для функции f_Т(t) разложение в ряд имеет вид

, где .

Пусть T, тогда ₀0 и спектр становится плотнее (чаще). При T амплитуды F_n0, но они существуют на любой частоте, т.е спектр из дискретной функции превращается в непрерывную.

Введем новые обозначения n₀=_n. Так как F_n функции от аргумента _n, то заменим F_n на F_n(_n). Обозначим TF_n(n₀)= TF_n(_n)=F_n(_n).

Тогда

, . (1.9)

Так как T=2/₀, то

. (1.10)

Равенство (1.10) говорит о том, что f_Т(t) можно выразить суммой экспоненциальных функций с частотами _i, i=1,2,..,n. Амплитуда составляющей на частоте _n равна F(_n)₀/2, т.е. пропорциональна F(_n).

Графическая иллюстрация формулы (1.10) представлена на рис.3.4.

Рис.3.4

Если F(_n)e^jnt - действительные величины, то формула (1.10) есть сумма площадей прямоугольников. Чем меньше ₀, тем лучше точность аппроксимации. При T ₀0 обозначим через d. Сумма в уравнении (1.10) переходит в интеграл. Кривая оказывается непрерывной функцией частоты и записывается через F()e^jt. При T f_Т(t)  f(t) и формулы (1.9) и (1.10) имеют вид

, (1.11)

. (1.12)

Функция F() является частотным спектром функции f(t) и называется функцией спектральной плотности. Уравнение (1.12) – прямое преобразование Фурье, а уравнение (1.11) – обратное преобразование Фурье.