2.5. Квантование сигнала

При квантовании сигналов на дискретные значения разбивается Х - область изменения сигнала [11]. На рис.2.11 приведена иллюстрация квантования сигнала x(t).

Интервал квантования x=x_i-x_i-1, i=1,2,…,n, n – число квантов. Наименьшее значение сигнала x_min соответствует нижней границе x₀ первого уровня квантования, а наибольшее значение сигнала x_max соответствует верхней границе x_n n-го уровня квантования.

Рис.2.11

Мгновенное значение сигнала x(t)(x_i-1,x_i) заменяется величиной , которая называется уровнем квантования.

При равномерном квантовании

.

При замене истинных значений сигнала уровнями квантования существует ошибка (шум): , x(t)(x_i-1,x_i).

При равномерном квантовании _КВ минимальная, если уровни выбираются в середине интервала квантования, т.е.

.

Тогда _КВmax=0,5x, диапазон изменения ошибок - 0,5x_КВ0,5x.

Сигнал x(t) случаен, поэтому ошибка квантования также случайная величина.

Математическое ожидание и дисперсия ошибок зависят от закона распределения сигнала, числа уровней квантования, размера интервала квантования.

Пусть сигнал описывается законом распределения плотности вероятностей (t). Тогда, если квантуемая величина и процесс квантования независимы,

, .

Если t0, то , тогда

,

.

Если находится в середине интервала квантования, то ошибка имеет нормальное распределение, для которого

.

Дисперсия _КВ с учетом изменений сигнала по всем диапазонам значений от x_min до x_max определится по формуле

.

При x_iconst, i=1,2,…,n , но , поэтому . Следовательно, среднеквадратичная ошибка квантования определится по формуле , т.е. среднеквадратичная ошибка квантования в 3 раз меньше, чем _КВmax.

Если _КВ задана, то при равномерном квантовании требуемое число уровней квантования определится по формуле

.

Глава 3 спектры сигналов

1. Частотная область представления сигналов

1.1. Разложение периодической функции в ряд Фурье

Множество, включающее функции cosn₀t и sinn₀t (n=0,1,2,…), является полным и ортогональным на интервале (t₀,t₀+2/₀). Любую периодическую функцию можно представить в виде разложения на интервале (t₀,t₀+2/₀) в виде ряда Фурье [10, 12]

f(t)=a₀+a₁cos₀t +a₂cos2₀t +….+a_ncosn₀t +…

+b₁sin₀t +b₂sin2₀t +…b_nsinn₀t +…. (1.1)

где ₀ - частота первой гармоники, а T=2/₀ - длительность интервала разложения (период первой гармоники).

Коэффициенты спектра разложения определяются по формулам (см. формулу (1.4) разд1.2)

, (1.2)

, (1.3)

, (1.4)

Множество комплексных экспоненциальных функций (n=0,1,2,…) ортогонально на интервале (t₀,t₀+2/₀). Тогда функцию f(t) можно представить на интервале (t₀,t₀+2/₀) в виде разложения в экспоненциальный ряд Фурье

. (1.5)

Коэффициенты F₀, F_n и F_-n спектра разложения определяются по формулам

; ; . (1.6)

Учитывая, что =cosn₀t+jsinn₀t, =cosn₀t-jsinn₀t, подставив выражения экспонент, выраженных через тригонометрические функции, в ряд (1.5), получим формулы, устанавливающие связи между коэффициентами a_n, b_n и F_n:

а₀=F₀, a_n=F_n+F_-n, b_n=j(F_n+F_-n), F_n=0,5(a_n-jb_n), F_-n=0,5(a_n+jb_n).

Для формулы (4.1) определим коэффициенты a_k=c_kcos_k, b_k=c_ksin_k, тогда, учитывая, что , получим , tg_k=b_k/a_k.

Ряд (1.1) можно записать в вещественной форме (обобщенный ряд Фурье):

, (1.7)

где c_k, _k, k₀ - соответственно амплитуда, фаза и частота k–ой гармоники. Угловая частота основной гармоники равна ₀=2/T.

Рассмотрим пример разложения f(t)=At , (0<t<1) на [0,1], Т=1, ₀=2/T=2, t₀=0. Тогда f(t)=a₀+a₁cos2t +a₂cos4t +…+b₁sin2t +b₂sin4t +… . Коэффициенты разложения определятся по формулам:

, ,

.

Разложение f(t) в ряд Фурье примет вид

.

Разложение этой же функции f(t) в экспоненциальный ряд Фурье будет иметь вид

F₀=А/2, , .