1.2. Система базисных функций

Сущность задач анализа реальных сигналов состоит в том, чтобы эти сигналы представить в виде совокупности простых элементарных сигналов, удобных для анализа. Реальный сигнал может быть представлен в виде суммы ортогональных составляющих (элементарных сигналов) [10]

(1.1)

при t принадлежащем отрезку ортогональности [t₁,t₂]. Формула (1.1) называется разложением сигнала по системе базисных функций _k(t). Коэффициенты a_k называются спектром разложения сигнала в ряд базисных функций.

К системе базисных функций предъявляются следующие требования:

- для любого сигнала ряд (1.1) должен сходиться;

- _k(t) должно иметь простую аналитическую форму;

- a_k должны вычисляться аналитически просто.

Условие ортогональности базисных функций имеет вид

, (1.2)

где число c_i называют нормой базисной функции _i(t). Каждую базисную функцию можно нормировать по ее норме, причем нормированная функция имеет вид

.

Система (1.2.) примет вид

(1.3.)

где _ij - символ Кронекера.

Для определения a_k умножим правую и левую части уравнения (1.1) на _k(t) и проинтегрируем обе части на отрезке ортогональности:

.

При k=i правый интеграл равен единице, тогда

. (1.4)

Ортогональное разложение (1.1) называется обобщенным рядом Фурье, а коэффициенты a_k - обобщенными коэффициентами Фурье. Набор чисел {a_k} называется спектрами сигнала. Пример ортонормированных базисных функций – базис тригонометрического ряда Фурье на отрезке [-,]

.

Аппроксимируем произвольную функцию x(t) линейной комбинацией n ортогональных функций

.

Определим постоянные a_i, при которых среднеквадратическая величина  функции x_l(t)min, где

или . (1.5)

Из (1.5) следует, что  есть функция от a_i и для ее минимизации необходимо принять . Так как t₂-t₁const, из (1.5) получим

(1.6)

Если возвести в квадрат выражение в квадратных скобках под знаком интеграла, то в силу ортогональности все слагаемые вида

,

т.е. производная всех слагаемых, не содержащих a_i, равна нулю, и тогда

, , .

В формуле (1.6) останется два слагаемых

.

Изменив порядок интегрирования и дифференцирования, получим

. (1.7)

Если a_i выбирать по формуле (1.7), то

,

Из формулы (1.7) следует, что , тогда определим 

.

2. Дискретизация и квантование сигналов

2.1. Общие положения

Дискретизация сигнала x(t) связана с заменой промежутков изменения независимой переменной некоторым множеством точек, т.е. x(t)x_i(t). При дискретизации x(t) заменяется совокупностью отдельных значений x(t_i). По x_i(t) можно восстановить x(t) с определенной погрешностью.

Функцию, полученную в результате восстановления (интерполяции) по значениям x_i(t), называют воспроизводящей функцией x^*(t), причем [11]

.

Величина a_i зависит от отсчетов x(t_i).

2.2. Регулярность отсчетов

Интервал [t₁,t₂] в процессе дискретизации разбивается на непересекающиеся отрезки t_i. По признаку регулярности отсчетов дискретизация подразделяется на равномерную и неравномерную.

Дискретизация называется равномерной, если t_i.=t_i – t_i-1  const на всем интервале [t₁,t₂]. Дискретизация называется неравномерной, если t_i.  var.

Неравномерная дискретизация делится на адаптивную и программируемую. При адаптивных методах t_i изменяется в зависимости от текущего изменения параметров сигнала. При программируемых методах изменение t_i производится либо оператором на основе анализа поступающей информации, либо в соответствии с заранее установленной программой работы.

Неравномерная дискретизация может быть с интервалами:

а) t_i =z, где const, z=1,2,3,… (дискретизация с кратными интервалами);

б) t_mint_i=t_max, где t_i – непрерывная величина (дискретизация с некратными интервалами).