11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

, (10)

, . Наряду с неоднородным уравнением (10) рассмотрим соответствующее однородное

. (11)

Для того, чтобы решить однородное уравнение, составим так называемое характеристическое уравнение

. (12)

Вещественному корню характеристического уравнения кратности отвечает группа линейно независимых решений уравнения (12)

, ,…, .

Комплексно сопряженной паре корней кратности отвечает группа линейно независимых решений (вещественных)

, , , ,…,

, .

Общее решение однородного уравнения (12) есть линейная комбинация решений указанного вида с произвольными действительными коэффициентами , ,…, .

Пример

Характеристическое уравнение имеет корни , , , .

Общее решение имеет вид

.

12. Метод вариации постоянных

Пусть , – фундаментальная система решений однородного линейного уравнения (вообще говоря с переменными коэффициентами) второго порядка

, (13)

т.е. общее решение имеет вид . Тогда решение неоднородного уравнения

(14)

можно искать в виде , где , , удовлетворяют системе уравнений:

Пример

Найдем решение однородного уравнения, следуя п. 10.

.

Ищем решение неоднородного уравнения в виде , где , , удовлетворяют системе уравнений:

, , ;

.

13. Уравнение Эйлера имеет вид:

Замена сводит его к уравнению с постоянными коэффициентами.

Пример

Решение однородного уравнения будем искать в виде , что приводит к характеристическому уравнению ,

Однородное уравнение имеет общее решение .

Частное решение неоднородного уравнения можно искать, заменяя на :

.

Тогда , или в исходных переменных

.

Коэффициенты определяются путем подстановки в уравнение. Общее решение имеет вид:

.

Примеры решения некоторых задач к контрольной работе №2 (для заочного отделения).

1. Решить систему уравнений:

Составляем и решаем характеристическое уравнение

Для корня находим собственный вектор , решая систему

,

из которой получаем вектор

Для корня аналогично находим собственный вектор

Общее решение системы запишем сначала в векторном виде, а потом по координатам.

2. Решить систему уравнений:

Составляем и решаем характеристическое уравнение

Для корня находим собственный вектор , решая систему

.

Можно взять Имеем частное решение

, т.е.

Так как данная система с вещественными коэффициентами, то решение, соответствующее корню , можно не искать, оно будет комплексно сопряженным с найденным решением. Чтобы получить два вещественных решения, надо взять вещественную и мнимую части найденного комплексного решения. Так как , то

Общее решение выражается через два найденных линейно независимых решения:

3. Решить систему

Сначала для однородной систем находим корни характеристического уравнения:

Для кратного корня определим число линейно независимых собственных векторов.

При получаем матрицу Ее порядок , ранг .Число линейно независимых векторов равно . Корень имеет кратность . Так как , то решение надо искать в виде произведения многочлена степени на , т.е. в виде Чтобы найти коэффициенты подставим эти значения и в одно уравнение соответствующей однородной системы и приравняем коэффициенты при подобных членах. При подстановке в первое уравнение будем иметь

.

Тогда или

Положив , имеем . Тогда общее решение однородной системы будет

Частное решение линейной неоднородной системы с постоянными коэффициентами можно искать методом неопределенных коэффициентов. Для функций , число соответственно равны . Поэтому надо найти частные решения: , где

,

есть частное решение системы

,

есть частное решение системы

Отыскав значения коэффициентов общее решение системы напишем в виде

4. Решить систему, записанную в симметрической форме

Первые две дроби образуют интегрируемую комбинацию. Сокращая равенство на и интегрируя, получим первый интеграл системы:

Чтобы получить вторую интегрируемую комбинацию, воспользуемся следующим свойством равных дробей:

если , то при любых имеем

.

Пользуясь этим свойством, получаем из заданной системы

Следовательно, получаем первый интеграл . Очевидно, что оба первые интегралы , независимы. Система решена.

Вместо того, чтобы вторую интегральную комбинацию, можно воспользоваться знанием первого интеграла , исключить из системы одно из неизвестных, например, . Имеем . Подставляем в уравнение , получаем . Отсюда . Подставляя выражение , найдем один первый интеграл: .

5. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы

Выделим линейную часть функций по формуле Тейлора.

Учитывая эти разложения, запишем систему первого приближения:

или

Составим характеристическое уравнение и найдем ее корни.

При корни комплексные, , при корни вещественные отрицательные, значит, в этих случаях нулевое решение асимптотически устойчиво. При один корень положителен, значит, нулевое решение неустойчиво. При имеем и вопрос об устойчивости не решается с помощью теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

6. Исследовать особые точки следующих уравнений и систем и начертить интегральные кривые (или траектории) на плоскости.

а)

Найдем особую точку, решая систему

Следовательно, особой точкой является точка .

Составим и решим характеристическое уравнение

Корни характеристического уравнения действительны и разных знаков, следовательно положение равновесия - седло.

Для находим собственный вектор . Прямая, по направлению совпадающая с этим вектором, является траекторией данной системы, по которой движение точки с ростом происходит по направлению к началу координат. Для получаем собственный вектор . По траектории, представляющую собой прямую, совпадающую с вектором , движение точки с ростом происходит в направлении от начала координат. Все остальные траектории этой системы являются гиперболами, для которых проведенные прямые являются асимптотами.

Этой информации достаточно, чтобы схематически изобразить фазовые кривые исходной системы и указать направление движения по этим кривым.

б)

Найдем особую точку, для чего решим систему

Следовательно, особой точкой является точка .

Составим и решим характеристическое уравнение

Корни вещественные, различные и одного знака. Значит, особая точка - неустойчивый узел.

Для находим собственный вектор , для - вектор .

На плоскости строим прямые, направленные вдоль этих векторов, а затем части парабол, касающихся в начале координат первой из этих прямых, так как . На всех траекториях указываем стрелками направление движения от начала координат.

в)

Особой точкой этой системы является .

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни.

Особая точка - неустойчивый, вырожденный узел, так как корни характеристического уравнения равные и положительные.

Для собственный вектор .Все интегральные кривые проходят через начало координат и все они имеют там ось общей касательной. Чтобы построить траектории на фазовой плоскости надо определить в каком направлении вокруг особой точки происходит движение. Для этого построим в какой-нибудь точке вектор скорости .

В точке вектор .

г)

Найдем особую точку, для чего решим систему Следовательно, особой точкой является точка .

Перейдем от данного уравнения к системе

Составим и решим характеристическое уравнение

Корни характеристического уравнения комплексные. Интегральные линии- спирали, асимптотически приближающиеся к началу координат. Особая точка - устойчивый фокус, так как

Строим в точке вектор скорости , который равен . В точке получаем вектор . Следовательно, возрастанию соответствует движение по траекториям против часовой стрелки. Так как вещественная часть корней равна , то особая точка асимптотически устойчива, следовательно, при возрастании решения неограниченно приближаются к особой точке. Итак, при движении против часовой стрелки траектории приближаются к началу координат.

д)

Особой точкой этой системы является точка .

Составим и решим характеристическое уравнение.

Корни характеристического уравнения чисто мнимые, поэтому точка покоя - центр. Центр является устойчивой точкой покоя, однако асимптотической устойчивости нет, так как решение не стремится к нулю при . Решение системы периодические функции, траекториями являются замкнутые кривые. Для построения эллипсов следует найти вектор скорости в произвольной точке . .

7. Найти в виде степенного ряда решение, удовлетворяющее данным начальным условиям. Вычислить несколько первых коэффициентов ряда (до коэффициента при )

Ищем решение в виде ряда

, найдем , подставив значение .

.

Находим , дифференцируя , считая .

.

Вычислим ,

Определим , дифференцируя .

.

Тогда .

Следовательно,

8. Найти общее решение уравнения

Составляем систему уравнений и находим ее первые интегралы (см. пример 4):

Следовательно, общее решение данного уравнения в частных производных можно написать в явном виде где - произвольная функция. Так как входит только в один из первых интегралов, то общее решение можно написать и в явном виде. Мы получим

где - произвольная функция.