1.4. Дифференциальные уравнения экономики, социологии, экологии

Теория дифференциальных уравнений (качественная теория дифференциальных уравнений) оказывается основным методом исследования математических моделей, разрабатываемых в названых областях.

Поскольку такие модели разрабатываются для использования их при принятии некоторых управленческих действий (операций), постольку нужно быть уверенным в том, что решение задачи оптимизации, основанной на построенной математической модели, не приведет систему к катастрофе.

Какими же качествами должна обладать математическая модель, чтобы принятие оптимальных решений на ее основе, не разрушили моделируемую систему?

В.И. Арнольд [«Жесткость» и «мягкость», c. 1-32] все математические модели подразделяет на два типа: «жесткие» и «мягкие». Под «жесткой» моделью подразумевается такая модель, которая не реагирует на изменение условий, то есть закономерность, положенная в основу этой модели, не изменяется с изменением значений параметров. В «мягкой» модели такие изменения учитываются (даже при некоторых значениях параметров может произойти смена закономерностей, связывающих параметры модели). Ярким примером «жестких» моделей являются линейные модели, в которых параметры модели связаны прямо пропорциональной зависимостью. Рассмотрим несколько моделей такого типа.

Задача 1.14. Простейшая модель Мальтуса роста населения Земли представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием (задача Коши):

,

где – численность населения в момент времени , – численность в начальный момент времени, – коэффициент рождаемости. Закономерность динамики численности населения в соответствии с моделью Мальтуса: скорость изменения численности населения прямо пропорциональна этой численности.

Решение. Решением дифференциального уравнения в этой модели является функция

,

в соответствии с которой рост населения носит экспоненциальный характер. Экспонента растет быстрее любой степенной функции и поэтому очень быстро численность населения будет недопустимо велика. Все мы знаем, что на самом деле этого не происходит, иначе быстро возрастающему населению просто не хватило бы материальных ресурсов для поддержания жизни. В настоящее время на Земле проживает около шести миллиардов человек. Оптимистические прогнозы на будущее оценивают предельную численность в 15 20 миллиардов человек. Это явно не соответствует экспоненциальной модели Мальтуса, которая не зависит от численности населения в текущий момент. Это пример «жесткой» модели.

Встанем на другую точку зрения. Заменим «жесткий» коэффициент рождаемости «мягким» , зависящим от численности . Приходим к модели:

.

Одним из самых простых вариантов выбора коэффициента является

.

Получающаяся при таком выборе модель – это модель Ферхюльста-Пирла (логистическая). При небольших значениях численности она ведет себя почти как экспоненциальная, при увеличении в модели начинает возрастать значение второго члена в , то есть . При этом численность населения стремится к некоторому стационарному состоянию, зависящему только от коэффициентов и .

Логистическая модель динамики численности населения – пример «мягкой» модели. Несмотря на простоту, она в первом приближении хорошо описывает реальную ситуацию. Этой же моделью обычно пользуются при исследовании динамики любой однородной популяции.

Как известно, спрос и предложение – экономические категории товарного производства, возникающие и функционирующие на рынке, в сфере товарного обмена. При этом спрос – представленная на рынке потребность в товарах, а предложение – продукт, который есть на рынке или может быть доставлен на него. Одним из экономических законов товарного производства является закон спроса и предложения, который заключается в единстве спроса и предложения и их объективном стремлении к соответствию.

Задача 1.15. Спрос и предложение.

Пусть в течение некоторого (достаточно продолжительного) времени крестьянин продает на рынке фрукты (например, яблоки), причем продает их после уборки урожая, с недельными перерывами. Тогда при имеющихся у крестьянина запасах фруктов недельное предложение будет зависеть как от ожидаемой цены в наступающей неделе, так и от предполагаемого изменения цены в последующие недели. Если в наступающей неделе предполагается, что цена упадет, а в последующие недели повысится, то предложение будет сдерживаться при условии превышения ожидаемого повышения цен над издержками хранения. При этом предложение товара в ближайшую неделю будет тем меньшим, чем большим предполагается в дальнейшем повышение цены. И наоборот, если в наступающей неделе цена будет высокой, а затем ожидается ее падение, то предложение увеличится тем больше, чем большим предполагается понижение цены в дальнейшем.

Решение. Если обозначить через цену на фрукты в наступающей неделе, а через – так называемую тенденцию формирования цены (производную цены по времени), то как спрос, так и предложение будут функциями указанных величин. При этом, как показывает практика, в зависимости от разных факторов спрос и предложение могут быть различными функциями цены и тенденции формирования цены. В частности, одна из таких функций задается линейной зависимостью, математически описываемой соотношением

,

где , , – некоторые вещественные постоянные. А тогда если, например, в рассматриваемой задаче цена на фрукты вначале составляла 1 р. за 1 кг, через недель она была уже р. за 1 кг, а спрос и предложение определялись соответственно соотношениями

то для того чтобы спрос соответствовал предложению, необходимо выполнение равенства

.

Отсюда приходим к дифференциальному уравнению

.

Интегрируя, находим, что

.

Если же учесть начальные условия при , то окончательно получаем

(1.11)

Таким образом, если требовать, чтобы между спросом и предложением все время сохранялось равновесие, необходимо, чтобы цена изменялась в соответствии с формулой (1.11).

Задача 1.16. Эффективность рекламы.

Предположим, что торговыми учреждениями реализуется продукция , о которой в момент времени из числа потенциальных покупателей знает лишь покупателей. Предположим далее, что для ускорения сбыта продукции были даны рекламные объявления по радио и телевидению. Последующая информация о продукции распространяется среди покупателей посредством общения друг с другом. С большой степенью достоверности можно считать, что после рекламных объявлений скорость изменения числа знающих о продукции пропорциональна как числу знающих о товаре покупателей, так и числу покупателей, о нем еще не знающих.

Решение. Если условиться, что время отсчитывается после рекламных объявлений, когда о товаре узнало человек, то приходим к дифференциальному уравнению

. (1.12)

С начальными условиями при . В уравнении (1.12) коэффициент – это положительный коэффициент пропорциональности. Интегрируя уравнение (1.12), находим, что

.

Полагая , приходим к равенству

,

где

.

Если последнее уравнение разрешить относительно , то получим соотношение

, (1.13)

где

.

В экономической литературе уравнение (1.13) обычно называют уравнением логистической кривой.

Если учесть теперь начальные условия, то уравнение (1.13) перепишется в виде

.

В частности, к уравнению (1.12) сводится задача о распространении технологических новшеств.

2. Уравнения с разделяющимися переменными

(1)

имеет общий интеграл

,

к которому необходимо добавить решения вида , где – нули функции , , если таковые имеются.

3. Уравнение

приводится к виду (1) после замены:

.

4. Однородное уравнение

или , (2)

где и – однородные функции одинаковой степени (т.е. для ), сводится к ОДУ вида (1) после замены переменных

. (3)

5. Уравнение

приводится к однородному заменой , , где – точка пересечения прямых , .

6. Линейное неоднородное уравнение

(4)

можно интегрировать методом вариации постоянных: сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Оно имеет вид ,где константа, . Далее ищем решение уравнения (3) в виде

. (5)

Подставляя (5) в (4), получим для неизвестной функции соотношение

. (6)

Интегрируя последнее ОДУ и подставляя найденное выражение для в (5), получим общее решение исходного уравнения (4)

. (7)

7. Уравнение Бернулли

,

сводится к линейному (4) заменой: .

8. Уравнение

(8)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции . Это имеет место, если . Чтобы решить уравнение (8), надо найти функцию , от которой полный дифференциал равен левой части уравнения (8). Тогда общее решение можно записать в виде , где – произвольная постоянная.

9. Пример решения задачи Коши

, .

Сначала следует найти общее решение

. (9)

К полученной формуле следует добавить потерянное частное решение . В самом деле, , но последнее получается из (9) при . Подставляя в (9) заданные начальные данные, найдем искомое значение константы :

.

10. Понижение порядка в дифференциальных уравнениях второго порядка

1) Пусть уравнение не содержит явно неизвестной функции

,

тогда его порядок понижается заменой .

Пример

Замена: ,

Подставляем в уравнение:

.

2) Пусть уравнение не содержит явно независимой переменной , т.е. имеет вид

,

Тогда его порядок можно понизить заменой .

Пример

Положим , тогда

и в новых переменных уравнение примет вид

.