3.5.Колебания прямоугольной мембраны.

Рассмотрим мембрану, имеющую в состоянии покоя форму прямоугольника, ограниченного прямыми x=0, x=l, y=0, y=m.

Уравнение колебаний мембраны

(107)

Начальные условия

(108)

(109)

Граничные условия

(110)

Будем решать задачу методом Фурье. Для этого будем искать решение в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента:

(111)

(1)

(2)

Из граничных условий следует, что

X(0)=0, X(l)=0, Y(0)=0, Y(m)=0 (112)

Подставляя (111) в (107), получим

Разделим на XYT

(3)

(4)

Анализируя последнее равенство, заключаем

, (113)

В результате, для функции X(x) получаем

, (114)

Для функции Y(y)

, Y(0)=Y(m)=0 (115)

Из (1) и (2)  X(0)=0, X(l)=0

Из (3) и (4)  Y(0)=0, Y(m)=0

Для функции T(t)

(116)

Решение (114) имеет вид

(117)

Решение 3.5 имеет вид

(118)

Из краевого условия X(0)=X(l)=0 находим = 0 и

, где k – целое число

Аналогично, из Y(0)=Y(m)=0 находим = 0 и

, где n – целое число

В результате получаем собственные числа и собственные функции

(119)

(120)

Уравнение для функции T(t) принимает вид:

(121)

Решение этого уравнения, зависящее от двух параметров k и n, имеет вид:

(122)

Здесь

(123)

- собственные частоты колебаний мембраны

Таким образом, частное решение уравнения колебаний прямоугольной мембраны имеет вид

(124)

Оно может быть приведено к виду

(125)

Где ,

Отсюда видно, что каждая точка мембраны с координатами (x,y) совершает простое гармоническое колебание с частотой и амплитудой . Все точки колеблются в одной фазе. Точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям

,

будут колебаться с наибольшей амплитудой называются пучностями. Линии, точки которых не колеблются (амплитуда равна нулю), называются узловыми линиями.

Общее решение нашей задачи о колебаниях мембраны представляется как сумма частных

(126)

Неизвестные коэффициенты a и b ищутся из начальных условий:

(127)

(128)

Формулы (127) и (128) представляют собой разложение функции двух переменных в двойной ряд Фурье. Коэффициенты этого разложения находятся аналогично коэффициентам однократного ряда и имеют вид

(129)

(130)