7. Усреднение игры. Использование смешанных стратегий.

Предположим, что игроки в процессе последовательности розыгрышей меняют свои стратегии x1 - u1; x2 - u2; … xm – um

ui – вероятность того, что используется I – ая стратегия. ui >=0 Сумма ui=1

y1 – z1; y2 – z2; … yn – zn

zi –вероятность использования стратегии yi zi >=0 Сумма zi=1

Ui Zj >= 0 Сумма Ui Zj =1

Характеристикой результата игры, со смешанными стратегиями, называется величина:

Чистая стратегия xi означает, что ui=1. Т. е. чистая стратегия – частный случай смешанной. x1,x2,xi,….xn u1=0,u2=0,ui=1,…um=0

Смешанную стратегию 1-го игрока будем наз. оптимальной, если она максимизирует его выигрыш, если второй игрок придерживается своей оптимальной стратегии и наоборот – стратегию 2-го игрока будем наз. оптимальной, если она минимизирует его проигрыш, если первый придерживается оптимальной стратегии.

8. Принципы максимина и минимакса для усредненной игры. Цена игры. Теорема Неймона: если игроки исп. смешанные стратегии, то сущ. оптимальные смеш. стратегии 1-го и 2-го игроков.

U*,Z* - оптимальные стратегии соотв. 1-го и 2-го игроков.

Чистые стратегии, которым в оптимальных смеш. стратегиях соотв. ненулевые вероятности, наз. активными или полезными.

Теорема: если один из игроков придерживается своей оптимальной смеш. стратегии, а 2-ой игрок пользуется только активвными стратегиями, то при любом его выборе выигрыш в игре будет неизменным и равен цене игры=

Это теорема имеет огроманое практическое значение и используется для отыскания оптимальных смеш. стратегий игроков.

9. Геометрическая интерпретация игры 2*n (m*2). Игра 2*n – это игра в которой первый игрок обладает только двумя стратегиями, n*2 – наоборот, второй только двумя стратегиями.

A= U=

=1-Ɵ

0≤ Ɵ ≤1

L( , z_i)= * * = * = =

10. Решение игр посредством сведения задаче линейного программирования. m*n с позиции 1 игрока

A=

Допустим, что стратегия оптимальна, а второй игрок исключает свои чистые стратегии.

L( , z_i)≥ν (1)

Для некоторых стратегий (1)

ν→max

(2)

Поскольку , то

ξ_i=

→min

ξ₁+ ξ₂+…+ ξ_m→min

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ФОРМУЛЫ.

1. Что такое «стационарный режим процесса гибели и размножения».

2. Как связаны между собой вероятности n-ого и (n+1)-ого состояний процесса гибели и размножения в стационарном режиме.

3. Запишите условие эргодичности процесса гибели и размножения.

4. Задана СМО M/M/2/2. Как найти вероятность немедленного обслуживания?

5. Задана СМО M/M/3/2. Как найти вероятность ожидания?

6. Задана СМО M/M/2/3. Как найти вероятность отказа?

7. Предмет исследования теории игр.

8. Дайте определение игры.

9. Что такое партия?

10. Что такое ход? Какими бывают ходы?

11. Что такое стратегия игрока?

12. Какая игра называется антагонистической?

13. Какая игра называется неантагонистической?

14. Что такое «игра с нулевой суммой»?

15. В каком случае возможна игра с ненулевой суммой?

16. Что такое «коалиционная игра»?

17. Какую цель преследует в игре первый игрок?

18. Что такое «нижняя цена игры»?

19. Какую цель преследует в игре второй игрок?

20. Что такое «верхняя цена игры»?

21. Каким соотношением связаны нижняя и верхняя цена игры.

22. Что цена игры? Всегда ли она существует?

23. Что такое «смешанная стратегия»?

24. Как задать чистую стратегию при помощи смешанных стратегий?

25. Что такое «оптимальная стратегия первого игрока»?

26. Что такое «оптимальная стратегия второго игрока»?

27. Что есть «цена игры» в усредненной игре? Всегда ли она существует?

28. Что такое «полезная стратегия игрока»?

29. Первый игрок использует свою оптимальную стратегию. В каком случае проигрыш второго игрока будет минимальным?

30. Второй игрок использует свою оптимальную стратегию. В каком случае выигрыш первого будет меньше цены игры.

31. Геометрическая интерпретация игры (2*n). Как Вы понимаете, что такое L(θ, y₂)?

32. Геометрическая интерпретация игры (2*n). Какой геометрический объект соответствует функции L(x₂,θ)при 0≤ θ≤1?

33. Сведение игры к ЗЛП. Запишите целевую функцию задачи.

34. Сведение игры к ЗЛП. Запишите i-ое ограничение задачи.

35. Сведение игры к ЗЛП. Пусть - оптимальное решение ЗЛП. Как найти оптимальную стратегию первого игрока?

КОМПЛЕКСНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Процесс гибели и размножения в установившемся режиме.

2. Исследование СМО M/M/1.

3. Исследование СМО M/M/m/k (на конкретном примере)

4. Формализованное описание игры.

5. Пример построения матрицы игры 2-х лиц.

6. Нижняя и верхняя цена игры, принципы максимина, минимакса.

7. Усреднение игры. Использование смешанных стратегий.

8. Принципы максимина и минимакса для усредненной игры. Цена игры.

9. Геометрическая интерпретация игры 2*n (m*2).

10. Решение игр посредством сведения задаче линейного программирования.