Лабораторная работа № 3. Интервальные оценки

Цель работы: изучить методы нахождения интервальных оценок.

Общие понятия и определения

Точечные оценки, получаемые при обработке результатов эксперимента, особенно при малых выборках, могут значительно отличаться от истинных параметров генеральной совокупности. Поэтому при небольшом объеме выборки пользуются интервальными оценками.

В этом случае указывается интервал (доверительный интервал или доверительные границы), в котором с определенной (доверительной) вероятностью  находится истинное значение исследуемой или измеряемой величины, например среднее значение генеральной совокупности m_x.

Иначе говоря,  определяет вероятность, с которой выполняются следующие неравенства:

(1)

где положительное число δ характеризует точность оценки.

Кроме доверительной вероятности используют «противоположное» понятие - уровень значимости

α =1 – . (2)

который выражает вероятность непопадания истинного значения исследуемой величины в доверительный интервал.

Доверительную вероятность не следует выбирать слишком маленькой (т.е. нельзя ее обесценивать). Наиболее часто  принимают равной 0,95; 0,98; 0,99; 0,999. Чем больше , тем шире интервал, представленный уравнением (3.1), т.е. тем больше δ. Чтобы установить количественную связь между этими величинами, необходимо найти выражение для доверительной вероятности. Однако нужно помнить, что при этом следует взять за функцию распределения вероятностей и какие принять пределы интегрирования. Рассмотрим это подробнее.

Итак, генеральная совокупность распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (средним значением) μ и дисперсией σ². Если из этой генеральной совокупности брать разные выборки с одинаковым объемом n, то можно для каждой выборки получить выборочное среднее значение . Эти средние значения сами являются случайными величинами. Их распределение, т.е. распределение средних значений разных выборок, полученных из одной генеральной совокупности, будет нормальным со средним значением, равным среднему значению генеральной совокупности μ, и дисперсией .

Следовательно, выступает как случайная величина, а значит, для нее можно записать следующую функцию распределения вероятностей:

(3)

На практике находят средние значения выборок, поэтому в подынтегральном выражении доверительной вероятности используется функция (3.3).

Пределы интегрирования для переменной , получаем, преобразуя (1):

(4)

Результаты решения найдем , используя функцию Лапласа Ф(t):

(5)

Обозначая

(6)

и учитывая, что Ф(-t)=1 – Ф(t), получаем из (5)

(7)

Для нахождения  по t или t по  можно воспользоваться таблицей функции Лапласа. Из таблицы 1 (см. Приложение) находим t_p,n или на основании (6)

(8)

Следовательно, с вероятностью  генеральная средняя находится в интервале

(9)

В формулу (9) обычно подставляется среднее значение одной какой – либо конкретной выборки.

Соотношения (6) и (7) позволяют находить:

• доверительный интервал (1) для заданного объема n выборки и доверительной вероятности ;

• минимальный объем выборки для заданных t и .

Например, для данных, с объемом n = 100, учитывая выборочную среднюю и среднее квадратическое отклонение , можно записать интервальную оценку с доверительной вероятностью = 0,95. Следовательно, . Из таблицы находим .