§ 13. Некоторые сведения о краевых задачах для уравнения Пуассона
Наряду с уравнением Лапласа, имеющим нулевую правую часть, рассмотрим неоднородное уравнение
(13.1)
где
- заданная функция, которое называют
уравнением Пуассона. Для этого уравнения
возможно поставить первую, вторую и
третью краевые задачи, точно так же, как
в случае уравнения Лапласа. Из
доказательства теорем единственности
следует, что классы единственности,
доказанные для уравнения Лапласа,
сохраняются и для уравнения Пуассона
(объясните, почему?). Отметим лишь,
что в формулировке теоремы единственности
для внутренней задачи Неймана вместо
сформулированного необходимого условия
разрешимости
,
(которое, впрочем, относится не к
единственности, а к разрешимости),
необходимое условие разрешимости
внутренней задачи Неймана для уравнения
Пуассона
имеет вид
.
(13.2)
Действительно, вторая формула Грина,
примененная к функциям
решению
данной задачи и
принимает вид
,
откуда следует равенство (13.2).
(повторить доказательство этого факта самостоятельно).
Зададимся целью научиться сводить решение краевых задач для уравнения Пуассона к решению соответствующих задач для уравнения Лапласа.
Рассмотрим функцию
отличающуюся от введенной выше функции
Грина задачи Дирихле для уравнения
Лапласа тем, что от гармонической
функции
мы не требуем выполнения краевого
условия
.
Рассмотрим ограниченную область
.
Когда
функция
гармоническая по
.
Вследствие чего из второй формулы Грина
следует
,
(13.3)
.
Когда
,
эту формулу можно применить в области
,
где
-
достаточно мало для того, чтобы шар
целиком лежал в
.
При этом вместо соотношения (13.3) получим
равенство
.
При
интеграл
стремится к несобственному интегралу
,
если последний существует. Как мы
неоднократно оценивали ранее,
при
,
поскольку производная непрерывна и
ограничена, а
растет на
как
при
.
Ранее мы показывали, что
при
(т.к. внешняя нормаль к части
границы области
направлена внутрь
и, поэтому
.
Учитывая найденные значения пределов, окончательно получим
.
(13.4)
Предположим, наконец, что точка
.
Пусть
,
.
Применим вторую формулу Грина в области
,
где
- достаточно мало. Получим
.
При интеграл в левой части этого равенства стремится к
несобственному интегралу по
.
За его значение примем предел правой
части, при вычислении которого мы можем
применить все рассуждения упомянутой
леммы 2 за тем исключением, что вместо
интеграла по
будет фигурировать интеграл по
,
так что
равен площади той части сферы
,
которая лежит в
.
Имеем как и ранее
.
Введем в точке
местную декартову систему координат
,
так что направление оси
совпадает с внешней нормалью и
(см. рис. 12). По предположению гладкости
границы, уравнение границы внутри
достаточно малого шара
возможно представить в виде
.
Если граница класса
,
то
и
обращаются в нуль в точке
.
Вследствие этого, по определению
дифференцируемой функции в малой
окрестности точки
имеет место соотношение
, (13.5)
где величины
и
обращаются в нуль при
.
Введем сферические координаты
,
положив
.
Подставив эти соотношения в (13.5), получим
,
г
де
-
функция, ограниченная и обращающаяся
в нуль одновременно с
,
а
- угловая координата точки на
.
Воспользовавшись этим соотношением,
придем к следующему равенству
,
где
при
.
Вследствие этого
,
что приведет нас к соотношению
(13.6)
Объединяя формулы (13.3), (13.4), (13.6), полученные
при
,
получим
(13.7)
Если является гормонической в , то
(13.8)
Соотношение (13.9) называют основной формулой теории гармонических функций. Оно переносится и на области с выходом на бесконечность.
Пусть
-
область с выходами на бесконечность и
с компактной границей
,
а
-
достаточно велико, так что
.
Применим основную формулу теории
гармонических функций (13.8) в области
,
придем к формуле, левая часть которой
будет отличаться от левой части основной
формулы тем, что в ней добавляется
интеграл
.
При стремлении
в силу теоремы 3 о поведении гармонической
функции при
,
и
убывает как
,
а
и
- как
,
т.е. все подынтегральное выражение, как
.
Переходя к пределу при
,
снова получим ту же основную формулу
теории гармонических функций, т.к.
очевидно
.