§ 11. Задача Дирихле для уравнения Лапласа во внешности шара

Пусть на поверхности шара задана непрерывная функция . Докажем, что решение внешней задачи Дирихле для шара представимо формулой

(11.1)

Д ействительно, как и при доказательстве формулы Пуассона, функция определяемая представлением (45), удовлетворяет уравнению Лапласа. Покажем, что равномерно при . Очевидно, . Возьмем точку (см. рис. 6) настолько удаленной от центра шара, что , т.е. . Тогда и

.

Следовательно, справедлива оценка ,

из которой вытекает, что при . Чтобы убедиться, что

при , запишем интеграл (11.1)

в сферических координатах

, (11.2)

- угловые координаты точки .

Подвергнем точку преобразованию инверсии, построив . Интеграл (11.2) можно записать в виде

, (11.3)

При этом и точка будет изнутри шара стремиться к точке . В силу результата, полученного для внутренней задачи Дирихле в шаре, имеем

,

когда . Принимая во внимание, что (при ), можем утверждать, что и правая часть уравнения (47) стремится к , что и требовалось доказать.

§ 12. Примеры построения функций Грина методом отражения

Этот метод применяется для областей, которые могут быть «расширены» так, что для новых областей функция Грина уже построена ранее. Особенностью такого расширения является необходимость указания правила, которым связаны значения функции Грина в «старых» и «новых» точках областей.

Это могут быть симметрии различного вида, инверсии (как в случае построения функции Грина для шара), вращения и т.п.

Первым примером такого построения функции Грина является применение инверсии для шара. Приведем дополнительные примеры.

1⁰. Построим функцию Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в

полупространстве (см. рис. 7). Пусть точка лежит в , т.е. . Точка называется с имметричной с точкой относительно плоскости . Докажем, что для исследуемой задачи функция Грина имеет вид .

Проверим выполнение трех свойств функции Грина. Если , то функция гармонична по при всех и . Очевидно, что гармонична при всех , так как . Так как при

,

свойство 2 функции Грина выполнено. Третье свойство вытекает из явного вида функции Грина и того факта, что - гармоническая функция при всех .

2⁰. Построим функцию Грина для полушара (см. рис. 8) . Пусть точка лежит в этом полушаре, - инверсия относительно - точка симметричная относительно плоскости , а точка - ее инверсия относительно сферы . Докажем, что функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в указанном полушаре имеет вид

.

Аналогично тому, как мы делали при построении функции Грина в

шаре, запишем теорему подобия: для треугольников и в случае, если : или ; для пары треугольников и (учтем, что : или . Учитывая факты подобия, перепишем функцию в виде

,

то есть выполнено второе свойство функции Грина. Выполнение первого и третьего свойств доказывается так же, как для шара или в первом примере.

3 ⁰. Функция Грина для двугранного угла . Чертеж (см. рис. 9) построим в сечении . В любом сечении параллельном этому сечению построения аналогичны. Пусть точка лежит в двугранном угле и - точка, симметричная относительно плоскости , точка - симметрична точке относительно плоскости , а точка симметрична точке относительно плоскости . Докажем, что функция Грина имеет вид

.

В ыполнение свойств 1 и 3 очевидно. Выполнение свойства 2 вытекает из того, что если принадлежит границе области, причем той ее части, которая лежит на плоскости , то , а , поэтому (см. рис. 10)

Если же , то, как видно из рис. 11 ,

, поэтому

.