§ 9. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в кольце

Эта задача состоит в том, чтобы найти решение уравнения

, (9.1)

удовлетворяющее граничным условиям

,

где и - непрерывные функции переменной .

Вначале ищем частные решения уравнения (9.1), имеющие вид

. (9.2)

Рассмотрим семейство решений вида

Ряд

является решением уравнения (9.1). Обозначим:

.

Из краевых условий получаем уравнения для определения постоянных :

(9.3)

Условия, наложенные при формулировке задачи на функции и позволяют утверждать, что эти функции разлагаются в ряд Фурье по тригонометрическому базису на отрезке

, (9.4)

причем

Сравнивая ряды (9.3) и (9.4), можем записать (решая соответствующую систему линейных уравнений):

Подставляя эти коэффициенты в ряд (9.3) получаем искомое представление в виде ряда.

Вопрос о сходимости ряда, его почленной дифференцируемости изучается отдельно методами исследования рядов Фурье и требует наложения дополнительных условий на функции .

§ 10. Теоремы о последовательностях гармонических функций

Теорема 8. Пусть - область без выходов на бесконечность, - последовательность функций , гармонических в . Пусть сходится равномерно на . Тогда равномерно сходится в и предельная функция будет гармонической в .

Доказательство. В силу равномерной сходимости на , согласно

критерию Коши, по любому найдется такое число , что

, если . На основании теоремы о максимуме и минимуме последнее неравенство будет иметь место и внутри . Тогда, согласно принципу Коши, имеем, что в , причем предельная функция непрерывна в . Докажем гармоничность в . Пусть и . Так как - гармонические функции внутри , то каждую из этих функций в можно представить с помощью интеграла Пуассона .В силу доказанной равномерной сходимости в в последнем равенстве можно перейти к пределу

Отсюда следует, что есть гармоническая внутри функция. В силу произвольности выбора центра сферы , теорема доказана.

Теорема 9. Пусть - гармоническая в ограниченной области последовательность функций, и числовая последовательность фиксированная точка, сходится. Тогда сходится к некоторой гармонической функции равномерно во всяком множестве , где - область и .

Доказательство. По условию теоремы в : . В силу сходимости, согласно критерию Коши, в точке при любом заданном существует такое , что - целые. Опишем из точки шар . Так как , то по неравенству Гарнака где . Возьмем шар меньшего радиуса ( - достаточно мало). В шаре справедлива оценка

Отсюда вытекает равномерная сходимость последовательности внутри шара . Взяв некоторую точку , мы получим равномерную сходимость последовательности внутри шара . Продолжая этот процесс мы докажем равномерную сходимость во всяком замкнутом шаре, лежащем в . По лемме Гейне-Бореля всякую замкнутую область мы можем покрыть конечным числом шаров, лежащих в и это дает нам равномерную сходимость последовательности в . Из равномерной сходимости в силу предыдущей теоремы, предельная функция будет гармонической внутри .