§ 8. Решение задачи Дирихле для уравнения

Лапласа в круге на плоскости

Пусть в плоскости имеется круг и на задана функция полярного угла . Поставим перед собой задачу нахождения функции , удовлетворяющей внутри круга уравнению Лапласа , непрерывной в и принимающей на границе заданные значения , где непрерывная, периодическая функция переменной .

Лемма 5. Оператор Лапласа в полярных координатах имеет вид

.

Доказательство. Из формул следует

Поэтому

Лемма доказана.

Будем решать задачу Дирихле в круге в полярных координатах. Перепишем уравнение Лапласа в виде

. (8.1)

Найдем частные решения уравнения (8.1), имеющие вид

. (8.2)

Подставив частное решение (8.2) в уравнение (8.1), получим

или

. (8.3)

Так как левая часть этого равенства не зависит от , а правая от , то обе они равны постоянному числу, которое мы обозначим через - . Из последнего равенства получаем два уравнения

; (8.4)

. (8.5)

Общее решение уравнения (8.4) имеет вид .

Решение уравнения (8.5) будем искать в виде . Подставляя в (8.5) , получим или .

Итак, имеются два частных линейно независимых решения и . Общее решение уравнения (8.5) будет иметь вид . Подставляя общие решения и в формулу (8.2), получаем функцию

. (8.6)

Функция будет решением уравнения (8.1) при любом значении , отличном от нуля. Если , то уравнения (8.4) и (8.5) принимают вид , и, следовательно,

. (8.7)

Решение должно быть периодической функцией , так как при одном и том же для углов и мы должны иметь одно и то же значение решения, потому что рассматривается одна и та же точка круга. Поэтому, очевидно, , а в (8.6): . Мы можем ограничиться только положительными значениями , т.к. в силу произвольности отрицательные числа новых частных решений не дают. Далее мы ищем решение непрерывное и конечное в круге, в частности и при , следовательно, . Аналогично, в формуле (8.6): . Таким образом, правая часть (8.7) есть . Обозначим ее через . Итак, . Будем искать решение нашей задачи в виде суммы и подберем так, чтобы выполнялись краевые условия. Итак,

(постоянная включена в и ). Выберем теперь произвольные постоянные и так, чтобы удовлетворялось краевое условие. При имеем

. (8.8)

Чтобы имело место равенство (8.8) нужно, чтобы функция разлагалась в ряд Фурье на интервале и чтобы и были ее коэффициентами Фурье. Следовательно, и должны определяться по формулам

(8.9)

Итак, ряд (8.8) с коэффициентами (8.9) будет решением нашей задачи, если он допускает конечное двукратное дифференцирование по и (это пока не доказано). Преобразуем формулу (8.8).

Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках

Отсюда имеем

.

Полученное представление является двумерным аналогом формулы Пуассона. Двукратное дифференцирование и гармоничность, а также непрерывное удовлетворение краевым условиям доказывается так же, как и в трехмерном случае.