§ 6. Теоремы единственности решений

краевых задач для уравнения Лапласа

Теорема 4. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа, как внутренней так и внешней, единственно в классе функций .

Доказательство. Рассмотрим вначале внутреннюю задачу Дирихле. Предположим, что существуют два решения и одной и той же задачи Дирихле. Тогда их разность будет гармонической и . Отсюда, по принципу максимума следует, что в , т.е. , т.к. в противном случае она должна была бы достигать внутри наибольшего положительного или наименьшего отрицательного значений, что невозможно.

Рассмотрим теперь внешнюю задачу Дирихле.

Как и ранее, предположим, что существуют два решения и . Тогда их разность будет гармонической функцией, равной нулю на и равномерно стремящейся к нулю при , т.е. для любого найдется такое , что для справедливо неравенство .

Пусть - произвольная точка области . Проведем сферу с

радиусом - настолько большим, чтобы и поверхность лежали внутри . Кроме того, выберем настолько большим, чтобы по произвольно заданному при было выполнено неравенство . Тогда, как следует из теоремы о максимуме, примененной к области , неравенство выполнено для всех . В силу произвольности заключаем, что , а т.к. - произвольная точка , то в , т.е. . Теорема 4 доказана.

Условие 1. Поверхность - поверхность класса , замкнутая и ограниченная.

Теорема 5. Пусть выполнено условие 1. Решение внутренней задачи Неймана определено с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Необходимым условием разрешимости этой задачи является равенство

. (6.1)

Доказательство. Если и - два решения внутренней задачи Неймана, то их разность и имеет нулевую правильную нормальную производную на . Применяя первую формулу Грина (2.2) к , получим , откуда следует, что , так что .

Необходимость условия (6.1) разрешимости внутренней задачи Неймана вытекает из условия (4.2) и второй формулы Грина (2.3), примененной к функциям и решению задачи. Действительно, . Теорема доказана.

Теорема 6. Пусть выполнено условие 1. Решение внешней задачи Неймана единственно.

Доказательство. Пусть и - два решения внешней задачи Неймана. Тогда - гармоническая в функция, которая имеет правильную нормальную производную на . По теореме 3 о поведении при гармонических функций имеем . Применяя первую формулу Грина (2.2) к области при , получим

. (6.2)

Но из оценок поведения при следует

. (6.3)

Устремляя получим из (6.2) и (6.3) , но , следовательно, при всех . Теорема доказана.

§ 7. Функция Грина задачи Дирихле

Предварительные рассуждения. Пусть - гармоническая функция и . Тогда имеет место формула (3.3) (3-е свойство гармонической функции):

, (7.1)

где .

Пусть также известна функция , обладающая следующими свойствами:

1. гармонична по в и ;

2. при .

Применяя вторую формулу Грина к гармоническим функциям и , получим

, (7.2)

(интегрирование ведется по ). Из второго свойства функции следует

.

Вычитая последнее равенство из (7.2), получим

. (7.4)

Обозначим

. (7.5)

Эта функция называется функцией Грина задачи Дирихле.

Определение. Функцией Грина внутренней задачи Дирихле Лапласа в области называется функция , удовлетворяющая следующим условиям

1. - гармоническая по ;

2. .

3. При справедливо представление (7.5), где - гармоническая в функция.

Построение функции Грина сводится к нахождению ее регулярной части , которая определяется из задачи Дирихле

С помощью функции Грина решение внутренней задачи Дирихле (если оно существует) задается формулой, вытекающей из (7.4)

. (7.5)

При выводе формулы (7.5) предполагалось существование решения внутренней задачи Дирихле с граничными значениями , непрерывного вместе со своими производными вплоть до границы . Искомая же функция в задаче Дирихле должна быть гармонической внутри области и непрерывной в замкнутой области . Таким образом, не давая доказательства существования решения, формула (35) дает интегральное представление существующих достаточно гладких решений задачи Дирихле. А.М. Ляпунов изучал представление (7.5) решения задачи Дирихле и установил, что если граница области «достаточно хорошая» (в каком смысле, установим позже), формула (7.5) представляет решение задачи Дирихле при любом выборе функции , входящей в граничные условия.

Совершенно аналогично вводится функция Грина для внешней задачи Дирихле.

Некоторые свойства функции Грина внутренней задачи Дирихле

Свойство 1. .

Доказательство. На границе и на , если - достаточно мало (т.к. при ). Отсюда в силу принципа максимума (см. теорему 2) вытекает искомое утверждение.

Замечание. Т.к. , то по принципу максимума, при всех и, следовательно,

Свойство 2. Функция Грина симметрична .

Для доказательства применим вторую формулу Грина (2.3) к функциям и и в качестве области интегрирования возьмем - настолько мало, что . В силу гармоничности функций и объемный интеграл будет равен нулю. Интеграл по поверхности также равен нулю, в силу граничного условия . Следовательно, имеет место равенство

(7.6)

Так как при для сферы справедливо равенство

,

где и - непрерывные, ограниченные функции, то учитывая, что , имеем

Откуда

при .

Учтем также, что

где - непрерывная ограниченная функция. Поэтому

.

Используя непрерывность по функций и , а также интегральную теорему о среднем, получим

Следовательно, в пределе при , равенство (7.6) примет вид

.

Отсюда вытекает второе свойство функции Грина.

Замечание. В случае функция Грина имеет вид

.

Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре

Задача состоит в поиске функции , такой, что в шаре , а на границе шара - сфере выполнено условие где непрерывная по функция.

Для решения этой задачи вначале построим функцию Грина. Точке шара , такой что , с помощью преобразования инверсии (5.1) сопоставим точку . Возьмем теперь некоторую точку и обозначим через и расстояния и соответственно. Найдем соотношение между и , когда (см. рис.2).

Имеем , т.к. - общий и

, т.к. .

Из подобия этих треугольников следует, что

или при .

Покажем теперь, что функция

( - инверсия )

есть искомая функция Грина задачи Дирихле для шара . Действительно, функция гармонична по в за исключением точки , где она обращается в бесконечность. При справедливо равенство . Положив

,

получим, что удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на функцию Грина.

Подставив найденную функцию в полученную ранее формулу , получим

, (7.7)

где дифференцирование ведется по направлению нормали в точке границы . Преобразуем полученную формулу. Имеем . В соответствии с определением дифференцирования по направлению нормами (см. рис.3), имеем

.

Так как

,

то

А налогично можно получить равенство . Таким образом

(7.8)

Из и по теореме косинусов имеем (рис. 4)

;

Определим значения и из последних равенств и подставим их в (7.8), после чего получим

Используя равенства и , вычислим

Отсюда и из формулы представления решения (7.7) имеем

. (7.9)

Полученная формула называется формулой Пуассона.

Таким образом, если решение внутренней задачи Дирихле для шара существует и если оно непрерывно в замкнутом шаре вместе со своими первыми производными, то оно представлено формулой Пуассона.

Докажем теперь, что если - непрерывна, то формула Пуассона (7.9) дает решение внутренней задачи Дирихле. Покажем с этой целью, что интеграл, входящий в правую часть формулы Пуассона есть функция гармоническая в , непрерывная в и принимающая заданные краевые значения.

Гармоничность следует из того, что при

( - гармоническая функция, если , а это так, поскольку ).

Возьмем и докажем, что если , то . Формула Пуассона справедлива и при , когда решение задачи Дирихле, очевидно, существует и тождественно равно единице

. (7.10)

Умножим обе части последнего равенства на . Из формулы Пуассона имеем

. (7.11)

Выберем радиус шара столь малым, чтобы при всех в силу непрерывности имело место неравенство - произвольно мало. Обозначим . Оставшуюся часть сферы обозначим . Равенство (7.11) перепишем в виде

(7.12)

Оценим в отдельности каждое слагаемое в правой части равенства (7.12). Вначале оценим первый интеграл

Оценим теперь второй интеграл в правой части (7.12). Допустим, что в своем стремлении к точке , точка уже подошла настолько близко, что лежит в шаре . Тогда , если . Функция непрерывна на , следовательно, она ограничена: . Отсюда имеем

.

Когда разность , следовательно,

при - достаточно малом. Из оценок двух интегралов имеем . Отсюда в силу произвольности следует .

С ледствие из формулы Пуассона (Неравенство Гарнака). Рассмотрим нигде не отрицательную в области гармоническую функцию . Пусть . Пусть . Легко видеть, что ядро формулы Пуассона при удовлетворяет неравенствам

(т.к.

по неравенству треугольника)

Из формулы Пуассона непосредственно следует

Применив теорему о среднем значении, получим

. (7.11)

Эта оценка значений положительной гармонической функции в произвольной точке шара через ее значения в центре шара называется неравенством Гарнака.

Теорема 7. Функция, гармоническая во всем равна нулю.

Доказательство. Пусть - гармоническая при функция. Опишем из начала координат сферу . В шаре в соответствии с формулой Пуассона имеет место равенство

Выберем настолько большим, чтобы при имело место неравенство (т.к. гармоническая при ). Тогда . Отсюда и из представления (7.10) вытекает оценка . В силу произвольности теорема доказана.