§ 4. Постановка основных краевых задач для уравнения Лапласа

Пусть - область без выходов на бесконечность с кусочно-гладкой границей - область, внешняя по отношению к (т.е. будем считать, что такова, что - также область). Пусть на заданы непрерывные функции .

Внутренняя задача Дирихле (первая внутренняя краевая задачакраевая задача).

Найти функцию , гармоническую в , непрерывную в и принимающую на заданные значения

. (4.1)

Аналогично определяется внешняя задача Дирихле, которая состоит в определении функции, гармонической в , непрерывной в и удовлетворяющей условию (4.1). Напомним, что гармоничность функции в области с выходами на бесконечность, подразумевает кроме удовлетворения функции уравнению Лапласа еще и равномерное стремление функции к нулю при

Внутренняя задача Неймана (вторая внутренняя краевая задача).

Найти функцию , гармоническую в области , такую, чтобы на границе существовала ее правильная производная , и которая удовлетворяет условию

. (4.2)

Аналогично формулируется внешняя задача Неймана (вторая внешняя краевая задача), заключающаяся в поиске гармонической в функции , у которой существует правильная нормальная производная на и для которой выполнено условие (4.2).

Третья внутренняя краевая задача.

Найти функцию , гармоническую в области, такую, чтобы на границе существовала ее правильная производная , и которая удовлетворяет условию

, (4.3)

где - заданная непрерывная на функция.

Аналогично формулируется третья внешняя краевая задача в области .

§ 5. Поведение гармонической функции на бесконечности

Пусть точка лежит вне шара . Совершим преобразование инверсии

. (5.1)

Точки и называются симметричными относительно сферы . Симметричные точки удовлетворяют соотношению

(5.2)

и поэтому преобразование инверсии взаимно однозначно преобразует внешность шара на . Пусть функция - гармоническая вне шара . Функция называется преобразованием Кельвина функции .

Наряду с декартовыми координатами , введем в цилиндрические координаты :

и сферические координаты :

.

Утверждение 3. В цилиндрических координатах оператор Лапласа имеет вид

. (5.3)

Доказательство. Для доказательства перейдем от представления (5.3) к представлению оператора Лапласа в декартовых координатах. Имеем для первых производных:

;

Отсюда для вторых производных:

.

Поэтому

откуда немедленно вытекает утверждение.

Утверждение 4. В сферических координатах оператор Лапласа имеет вид

. (5.4)

Доказательство. Для доказательства перейдем от представления (5.3) к представлению (5.3) оператора Лапласа в цилиндрических координатах. Свяжем эти координаты соотношениями . Имеем для первых производных:

;

.

Отсюда для вторых производных:

Поэтому

откуда и из очевидного равенства вытекает утверждение.

Утверждение 5. При преобразовании Кельвина гармоничность сохраняется, т.е., если функция гармонична в , то функция гармонична в .

Доказательство. Пусть связанные преобразованием инверсии (5.1) точки имеют следующие сферические координаты . Преобразуем представление в сферических координатах функции с помощью преобразования Кельвина и равенства , вытекающего из (5.2):

(5.5)

Кроме того,

Из последнего равенства и из равенства (5.5) имеем

то есть Отсюда и следует требуемое утверждение.

Лемма 4 (об устранимой особенности). Пусть - изолированная особая точка функции и во всех точках некоторой шаровой окрестности точки функция гармонична, причем . Тогда может быть доопределена в точке до гармонической.

Доказательство. В дальнейшем будет доказана формула Пуассона, согласно которой можно построить гармоническую в шаре функцию , принимающую на те же значения, что и (т.е. принимающую на заданные значения). Рассмотрим также функцию , где - радиус . Последняя функция неотрицательна при и гармонична в области (см. лемму 1). При эта функция растет как , поэтому, если функция при растет медленнее, т.е. , или при , то существует такое число при , что при и . При в этом неравенстве обе части равны нулю и неравенство верно при любом выборе функции , а для выполнения этого неравенства при примем за наименьшее значение выражения (заметим, что при растет медленнее по условию, а - вообще ограничена, как гармоническая). Так как функции и обе являются гармоническими в области , то неравенство выполненное на границе области, по принципу максимума выполнено и внутри . (Действительно, если, например, на границе, то эта разность не может быть больше нуля внутри области).

Зафиксируем точку и устремим к нулю. Правая часть неравенства будет стремиться к нулю, а т.к. его левая часть не зависит от , то и, следовательно, функция гармонична при . Лемма доказана.

Теорема 3. Пусть гармоническая вне шара функция. Тогда при

. (5.6)

Доказательство. По определению гармонической в области с выходами на бесконечность функции, при , т.е. при . Совершая преобразование Кельвина, получим функцию гармоническую в и удовлетворяющую при условию . По лемме 4 об устранимой особенности заключаем, что - гармоническая в функция. Совершая обратное преобразование Кельвина для функции получим представление из которого (и из ограниченности в шаре гармонической функции ) вытекает первая из оценок (5.6). Для получения второй оценки достаточно продифференцировать представление по каждой из независимых переменных . Теорема 3 доказана.

Доказанная теорема и преобразование Кельвина позволяют внешние краевые задачи сводить к внутренним и наоборот.