§ 3. Основные свойства гармонических функций

Пусть - гармоническая функция в области без выходов на бесконечность с границей . Пусть . Положим в первой формуле Грина (2.2) , примем во внимание гармоничность функции и получим равенство

.

Так как интеграл в правой части последнего равенства неотрицателен, то

. (3.1)

Применяя вторую формулу Грина (2.3) к гармоническим функциям и , получим

, (3.2)

т.е. интеграл от нормальной производной гармонической функции по границе области равен нулю. Применим формулу (2.4) из леммы 2 к гармонической функции . В силу равенства получим

, (3.3)

т.е. значение гармонической функции в любой точке внутри области выражается через значения этой функции и ее нормальной производной на границе области с помощью формулы (3.3).

Замечание. Интегралы в формулах (3.1) - (3.3) не содержат производных второго порядка от функции и для применимости этих формул достаточно предположить, что гармоническая функция непрерывна вместе со своими производными первого порядка вплоть до границы . Чтобы убедиться в этом, достаточно заменить область на область , написать формулы (3.1)-(3.3) для области , в которой имеется непрерывность производных второго порядка, а затем перейти к пределу при . Возможность выбора области такой, что при вытекает из возможности построения поверхности , параллельной , что показано ранее.

Утверждение 2. Функция , гармоническая в области имеет производные всех порядков внутри этой области.

Доказательство. Возьмем внутри области произвольную точку . Окружим ее областью с границей , целиком лежащей внутри . Функция будет иметь непрерывные производные второго порядка вплоть до поверхности . Применяя формулу (3.3) в области , получим

. (3.4)

Так как точка не лежит на , то функция является непрерывной и имеет непрерывные производные любого порядка по переменным . Следовательно, правую часть формулы (3.4) можно дифференцировать по переменным сколь угодно раз.

Теорема 1 (о среднем арифметическом). Пусть функция гармонична в шаре и имеет правильную нормальную производную вплоть до границы . Тогда справедливо представление

(3.5)

(Значение функции, гармонической в шаре и непрерывной на его поверхности в центре шара равно среднему арифметическому ее значений на поверхности этого шара).

Доказательство. Пусть гармонична внутри шара и непрерывна вместе со своими первыми производными , - центр шара. Применим формулу (3.4) к функции в шаре :

при , а направление внешней нормали совпадает с направлением радиуса: и формула (3.4) принимает вид , откуда, в силу (3.2), имеем равенство (3.5). Теорема доказана.

Теорема 2 (о максимуме и минимуме). Пусть функция является гармонической в области без выходов на бесконечность и непрерывна в . Тогда функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений на границе области, за исключением того случая, когда эта функция есть постоянная.

Доказательство. Предположим, что функция достигает своего наибольшего значения в точке . Так как - внутренняя точка области , то существует сфера с центром в и радиусом , такая, что . Применим теорему о среднем к функции в области и оценим правую часть полученного представления сверху:

,

здесь , т.е. . Знак равенства в последней оценке достигается лишь когда функция на постоянна. Поскольку по предположению, наибольшее значение функции в области , а , можно утверждать, что и, следовательно, имеет место равенство , следовательно, функция равна постоянной внутри и на поверхности любой сферы с центром , целиком лежащей в . Покажем, что из этого факта следует, что функция равна постоянной во всей области .

Пусть - любая точка области . Покажем, что . Соединим и кусочно-гладкой линией конечной длины (Это возможно в силу определения области). Пусть - расстояние от до . В силу сказанного выше функция равна постоянной в шаре с центром и радиусом . Пусть - последняя точка пересечения линии с поверхностью упомянутого шара, если считать от : . Как установлено выше, в шаре с центром и радиусом имеет место равенство . Пусть - последняя точка пересечения с поверхностью этого шара. Как и выше, функция равна и в шаре с центром и радиуса и т.д. Таким образом, всю линию можно покрыть конечным количеством шаров, внутри которых . Тогда точка окажется внутри последнего из них и, следовательно, .

Аналогично доказывается, что функция не может достигать наименьшего значения внутри области . Для этого достаточно отметить, что максимум функции достигается в той же точке, в которой достигается минимум функции . Согласно теореме Вейерштрасса, непрерывная функция в замкнутой ограниченной области достигает своих наибольшего и наименьшего значений. А так как непостоянная функция не может принимать минимальное и максимальное значения внутри области , то, следовательно, это происходит на границе области . Теорема доказана.