§ 2. Формулы Грина
Формула Гаусса-Остроградского (без
доказательства). Пусть
область
без выходов на бесконечность, причем
её граница
- кусочно-гладкая поверхность. Пусть
функции
имеют в
непрерывные и ограниченные производные
первого порядка. Тогда справедлива
следующая формула
, (2.1)
где
- внешняя нормаль к поверхности
.
Вывод формул Грина. Пусть функции
принадлежат пространствам
и вторые производные функций
и
ограничены. Положим
,
.
С помощью формулы Гаусса-Остроградского
запишем
откуда
.
(2.2)
Формула (2.2) называется первой формулой Грина.
Меняя местами и в (2.2), можем записать
.
Вычтем из последней формулы равенство (2.2). Получим вторую формулу Грина.
.
(2.3)
Замечание. В случае, когда область ограничена несколькими замкнутыми поверхностями (например, область - кольцо), следует внимательно выбирать направление внешней нормали.
Лемма 2. Если функция
,
то имеет место формула
,
(2.4)
где
внешняя нормаль в точке
,
.
Доказательство. Будем вначале
предполагать, что функция
.
Рассмотрим функцию
.
Поскольку
при
,
мы не можем применить формулу Грина по
всей области
.
Вырежем из области
шар
с центром в точке
и радиусом
настолько малым, что
.
Обозначим через
оставшуюся часть
:
,
а через
- поверхность шара (
).
В области
к функциям
и
можно применить вторую формулу Грина.
Так как по лемме 1 функция
гармоническая
в
,
имеем
. (2.5)
Устремим радиус шара к нулю. Тогда слева в (2.5) получим интеграл по всей области . Интеграл от не зависит. Покажем, что
.
(2.6)
Так как на поверхности шара
справедливо равенство
то, принимая во внимание, что нормаль
направлена прямо противоположно
направлению радиуса шара, будем иметь
и, следовательно, по теореме о среднем
,
(2.7)
при
.
Производные
функции
ограничены в
.
Следовательно, существует
,
такое, что
.
Тогда
(2.8)
Таким образом, из (2.7) и (2.8) следует (2.6).
Сформулируем некоторые базисные утверждения необходимые для снятия предположения .
Распространение формул Грина. Пусть
граница принадлежит классу
.
В каждой точке
отложим по внутренней нормали -
отрезок постоянной длины
.
Множество концов
этих отрезков описывается уравнением
.
Назовем полученную поверхность
параллельной
.
Утверждение. Нормаль
в точке
направлена вдоль
.
Доказательство.
- есть внутренняя огибающая семейства
сфер
. (2.9)
Действительно, пусть некоторый кусок
поверхности
задается уравнением
(согласно
лемме Гейне-Бореля, поверхность
можно разбить на конечное количество
кусков, в каждом из которых она задается
в указанном виде). Дифференцируем (2.9)
по
:
имеем
Вектор
параллелен вектору
,
следовательно
.
Таким образом, мы вывели уравнение
поверхности
Остается отметить, что нормаль к сфере
– по радиусу ( см. рис.1)
Определение. Пусть граница
области
есть поверхность класса
и функция
.
Будем говорить, что функция
имеет правильную нормальную производную
на
,
если равномерно по всем
существует предел нормальной производной
при
.
Из этого определения следует, что
правильная нормальная производная
непрерывна на
,
если она существует (доказательство
от противного).
Введем обозначение для правильной
нормальной производной
.
Лемма 3. Пусть граница
области
- поверхность класса
и функция
из класса
имеет правильную нормальную производную
на
.
Тогда для любой
справедливо равенство
,
(2.10)
где
- поверхности, параллельные
.
Доказательство. Из предыдущего
утверждения следует, что нормали
и
в точках
и
направлены одинаково, и в силу определения
правильной нормальной производной и
непрерывности
на
имеем равномерное стремление
.
Из последнего соотношения вытекает утверждение леммы.
Следствие. Формулы Грина (2.2) и (2.3)
остаются справедливыми, если область
- не имеет выходов на бесконечность,
- поверхность класса
,
а функции
и имеют правильные нормальные производные
на
.
В случае области
с выходами на бесконечность, необходимо
дополнительно потребовать, чтобы функции
.
Поясним утверждение следствия. Для
того, чтобы избавиться от предположения
о том, что вторые производные функции
непрерывны вплоть до границы
,
заменим область
областью
,
лежащей вместе с границей внутри
.
Применим вначале формулу (2.6) к области
и перейдем к пределу при
,
после чего получим требуемый результат.
Аналогичные формулы имеют место и для
плоскости
:
,
(2.11)
. (2.12)