§ 21. Потенциал простого слоя

Потенциал простого слоя распределен по поверхности Ляпунова . Очевидно, что во всех точках потенциал простого слоя имеет производные любого порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа. Совершенно так же, как и в случае потенциала двойного слоя, доказывается, что , где .

Теорема 15. Потенциал простого слоя с непрерывной плотностью есть функция непрерывная во всем пространстве .

Доказательство. Уже отмечалось, что непрерывен во всех . Покажем, что непрерывен и при . Для этого нужно доказать, что интеграл сходится равномерно в точках поверхности . Пусть - произвольная точка поверхности . В точке построим местную систему координат, как указано выше. Пусть - заданное число и часть поверхности , определенная условием , ( - из определения поверхности Ляпунова). Покажем, что можно выбрать настолько малым, чтобы при любом положении в некоторой окрестности выполнялось неравенство

. (21.1)

Мы имеем

, (21.2)

где - круг радиуса с центром в , (так как ), .

Если , то принадлежит кругу с центром в , лежащему в плоскости (см. рис. 19).

Если на плоскости взять круг радиуса с центром в точке , то он, очевидно, будет содержать весь круг , так что в силу (21.2):

.

Последняя оценка не зависит от положения точки на . Фиксируем теперь так, чтобы , и получим оценку (21.1) при любом положении в . Это и означает, что интеграл сходится равномерно в точке , а, следовательно, функция непрерывна в точке . Теорема доказана.

§ 22. Нормальная производная потенциала простого слоя

Пусть - направление внешней нормали в некоторой точке .

Считая, что , составим производную . От зависит лишь и мы можем дифференцировать под знаком интеграла

. (22.1)

Отметим разницу между последним интегралом и потенциалом двойного слоя . В , где , а - нормаль в точке , - переменная интегрирования. В интеграле (22.1) , где - единичный вектор внешней нормали в фиксированной точке . В обоих случаях . Покажем, что интеграл (22.1) существует и в том случае, когда , причем . В этом последнем случае будем записывать интеграл (22.1) в виде

. (22.2)

Для этого достаточно рассмотреть интеграл (22.1) на участке , содержащем . В точке построим местную систему координат. Через обозначим координаты , а через - координаты точки . Тогда (см. рис. 20).

Если , то и интеграл принимает вид

,

где - проекция на плоскость , касательную к в точке , а - локальное уравнение поверхности . В силу оценок имеем

следующую оценку подынтегральной функции ,

откуда и следует сходимость интеграла (22.2), если .

Перейдем теперь к выяснению поведения нормальной производной потенциала простого слоя (22.1) при приближении по нормам изнутри или извне поверхности . Будет доказана следующая

Теорема 16. Нормальная производная потенциала простого слоя имеет пределы

(22.3)

Доказательство. Составим разность и потенциала двойного слоя с той же плотностью

.

Написанный интеграл имеет смысл, если или если . Покажем, что интеграл имеет предел, когда точка по нормали к в точке , и что этот предел равен значению интеграла при . В точке построим местную систему координат. Пусть - часть поверхности , определяемая условием . Точка , т.е. в местной системе координат - координаты точки в местной системе координат. При этом мы имеем

и, следовательно

.

Принимая во внимание оценки из (19.1) , где - проекция на плоскость , получим , где Принимая во внимание, что , будем иметь

,

где - постоянная. Эта оценка имеет место при любом положении точки на нормали к поверхности в точке . Отсюда следует, что если задано, то, фиксируя таким, чтобы , будем иметь

. (22.4)

Разбивая теперь на две части и можем написать

, где

Имеем , откуда

или, в силу оценки (22.4): , если считать, что .

В интеграле интегрирование совершается по , а точка лежит внутри , и потому функция в точке и ее некоторой окрестности непрерывна. Таким образом, для всех достаточно близких к , имеем , и , откуда, в силу произвольности следует, что , причем точка по нормам к в точке извне или изнутри. Ранее было показано, что потенциал двойного слоя имеет предел при стремлении

изнутри или извне поверхности . Отсюда

Принимая во внимание результаты теоремы 14 о потенциале двойного слоя, получаем утверждение теоремы.

Замечание. Из (22.3) непосредственно следует величина скачка нормальной производной потенциала простого слоя

.