§ 19. Поверхности Ляпунова

Для того, чтобы строго изучить свойства потенциалов простого и двойного слоя, необходимо подчинить ряду требований те поверхности, на которых расположены эти слои.

Определение. Будем называть замкнутую поверхность поверхностью Ляпунова, если

1. В каждой точке существует касательная плоскость.

2. Существует такое что для любых сфера делит на две части, одна из которых заключается внутри , а другая вне и прямые, параллельные нормами к в точке пересекают часть , находящуюся внутри не более, чем в одной точке.

3. Если -острый угол, образованный нормалями к в двух ее точках и и , то существуют постоянные , не зависящие от , такие что для любых имеет место оценка .

Пояснения. Условие 1 дает возможность в каждой точке построить местную прямоугольную систему координат с полюсом в , так что переменные и лежат в касательной плоскости, а переменная

изменяется в направлении внешней нормали.

Условие 2 показывает, что в этой местной системе уравнение части поверхности может быть (локально, внутри ) представлено в виде . Для упрощения записи, если , будем обозначать его координаты , где , если , то будем его координаты обозначать по-прежнему .

Из условия 3 следует, что частные производные , существование которых обеспечено условием 1, являются непрерывными функциями и . В дальнейшем будем считать, что взято достаточно малым. Например, можно принять условие , так что угол между нормалью в любой точке и нормалью в не достигает . Обозначая , имеем

,

откуда, так как , то

.

Следовательно, в силу условия : откуда . Вводим полярные координаты: . Имеем

,

то есть , или более грубую оценку , откуда . Но . Из неравенства имеем , откуда , или, тем более, , так как при . Из оценок и имеем .

Оценим .

.

Аналогично, . Мы, кроме того, имеем оценку .

Выпишем вместе все ранее полученные оценки

, (19.1)

где - постоянная, наибольшая из всех, входящих в соответствующие оценки. Указанные оценки сохраняются при замене в правых частях на .

§ 20. Потенциал двойного слоя

Р ассмотрим потенциал двойного слоя, распределенный на поверхности Ляпунова, с непрерывной плотностью (рис. 17)

.

При существуют все . Покажем, что при : . Возьмем начало координат внутри области: . Тогда . Обозначим , где . Пусть настолько удалено, что или . Тогда, обозначив , имеем оценку

.

Пусть теперь . Обозначим . Покажем, что и в этом случае сходится. Для этого достаточно исследовать подынтегральную функцию на куске границы . В точке построим местную (локальную) систему координат, в которой уравнение границы имеет вид . В этой системе координат точка , а точка имеет координаты и . Найдем , где - направление

,

но . Следовательно,

.

При исследовании поверхностей Ляпунова нами доказаны оценки

а также очевидные оценки , где получим , где - постоянная. Кроме того, для непрерывной функции справедлива оценка . Заменяя интеграл по интегралом по - проекции на плоскость местной системы координат, получим

( - угол между и ), но

,

где использована оценка из (19.1): . Отсюда следует

сходимость интеграла , а следовательно, и , когда . Если , то значение интеграла называют прямым значением потенциала двойного слоя. Пусть теперь и пусть . Если при этом приближении существует , то будем говорить, что принимает в точке предельное значение. Предельные и прямые значения потенциала двойного слоя, вообще говоря, не совпадают.

Далее мы покажем, что предельные значения потенциала двойного слоя , вообще говоря, различны в зависимости от того, извне или изнутри стремится точка к и эти предельные значения не совпадают с прямыми значениями.

Применим основную формулу теории гармонических функций (13.8) при , , обозначив . Получим

(20.1)

Интеграл называется интегралом Гаусса. В дальнейшем будем предполагать, что

, (20.2)

что является ограничением на поверхность .

Теорема 14. Потенциал двойного слоя имеет пределы , причем имеют место формулы

(20.3)

где .

Доказательство. Пусть . Представим в виде

, (20.4)

где - интеграл Гаусса.

П усть (см. рис.18) Поведение известно. Рассмотрим . Докажем, что сохраняет непрерывность, когда пересекает в точке . Зададим . В силу непрерывности существует участок :

. ( - из условия (20.2)).

Разобьем поверхность на части .

, (20.5)

где

(20.6)

Справедлива оценка .

Из (20.5) следует

,

откуда

В интегрирование ведется по , причем , следовательно, подынтегральная функция в непрерывна, следовательно, непрерывна в точке и сама функция , т.е. при для любого : и поэтому, , откуда следует непрерывность в точке .

Пусть изнутри . Тогда .

Пусть в формуле представления . Тогда, в силу формулы (20.5) и интеграла Гаусса . Сравнивая два последних представления, имеем .

Пусть теперь извне . Аналогично получим

, откуда .

Теорема доказана.