§ 18. Объемный потенциал
Рассмотрим объемный потенциал
,
(18.1)
где
-
область без выходов на бесконечность.
Положим, что
ограничена и интегрируема в
.
Интеграл (18.1) собственный, если
.
В этом случае функция
непрерывна и имеет частные производные
всех порядков. Так как
-
фундаментальное решение уравнения
Лапласа, то
при
.
Покажем, что
.
Поместим начало координат внутри
(см. рис. 15). Тогда
или
.
О
бозначим
диаметр области (см. рис.
15) Рис. 15
.
Тогда
.
Будем считать, что
настолько удалена от
,
что
,
т.е.
и
или
.
Теперь
, где
.
Таким образом, объемный потенциал
есть гармоническая функция при
.
Пусть теперь
.
Так как
,
то интеграл (18.1) несобственный и сходится.
Теорема 12. Если
ограничена и интегрируема в
,
то потенциал
и его частные производные первого
порядка непрерывны в
и эти производные могут быть получены
дифференцированием под знаком интеграла.
Доказательство. Покажем вначале, что интегралы и
,
(18.2)
п
олученные
формальным дифференцированием (18.1) по
,
равномерно сходятся в любой точке
.
Пусть
и
.
Имеем (если
),
,
см. рис. 16:
,
причем стремление к нулю в последней
оценке независимо от точки
,
т.е. выбирая по заданному
число
(не зависящее от выбора
),
мы убеждаемся в равномерной сходимости
интеграла (18.1) в произвольной точке
.
Повторяя аналогичные рассуждения для
,
получим
,
если
.
Отсюда следует равномерная сходимость
и
.
При доказательстве мы использовали
лишь ограниченность
,
поэтому интегралы (18.1) и (18.2) непрерывны
в точках разрыва
.
Точки границы области можно рассматривать,
как точки разрыва функции
,
равной нулю вне
.
Следовательно,
и
непрерывны во всем
.
Докажем теперь, что
.
Пусть
.
Рассмотрим разность
(18.3)
и покажем, что она стремится к нулю при
.
Рассмотрим
,
так что
.
Разложим функции
.
Разность (18.3) можно записать в виде
.
(18.4)
Оценим в отдельности каждое из слагаемых
в правой части (18.4), считая
.
Мы имеем (т.к.
):
Но
следовательно,
.
(18.5)
Оценим
.
(18.6)
Зададим теперь малое
и возьмем радиус
шара
столь малым, чтобы
.
Тогда для любого
:
(18.7)
Для третьего слагаемого в (18.4) имеем
,
т.к.
и
лежат вне
.
Следовательно, для любого
можно указать такое
,
что из оценки
следует неравенство
,
отсюда в силу (18.7), (18.4):
если
,
отсюда
.
Аналогично
.
Теорема доказана.
Теорема 13. Если плотность
,
причем первые производные равномерно
в
ограничены, то объемный потенциал
,
причем
.
Доказательство. Пусть
,
пусть
,
пусть
.
Представим
в виде
,
где
.
В силу предыдущей теоремы
,
но
.
Тогда
.
Проинтегрируем второй интеграл по
частям, получим
(18.8)
Первое слагаемое в (18.8) есть собственный
интеграл для
,
причем существует производная
,
то же можно утверждать и о третьем
слагаемом в (18.8), так как
,
а
.
Второе слагаемое в правой части (18.8)
есть объемный потенциал с плотностью
и, по предыдущей теореме 12 существуют
его первые производные, непрерывные во
всем
.
Следовательно,
имеет непрерывные первые производные
при
.
Аналогичные рассуждения, примененные
к
доказывают, что существуют производные
.
В силу произвола выбора
получаем утверждение теоремы о том,
что
.
Докажем удовлетворение
уравнению Пуассона. Интеграл
есть гармоническая функция при
,
т.е.
при
,
следовательно,
при
.
Воспользовавшись этим, вычислим
при
из (18.8)
(18.9)
Величина
не зависит от выбора
.
Устремим
к нулю. Пусть
.
Учитывая, что
,
имеем
при
.
Следовательно, объемный интеграл в (18.8) стремится к нулю при .
Рассмотрим поверхностный интеграл в
(18.9). Так как
для сферы, то
где
.
Следовательно, интеграл по
в (18.9) может быть записан в виде
,
при некотором
.
При
,
поэтому, переходя к пределу в (18.9), имеем
,
что требовалось доказать. Теорема
доказана.
Замечание. Если
,
то уравнение Пуассона
имеет частное решение
.