§ 16. Теория потенциала

Рассмотрим область , пусть .

Определение. Выражения

(16.1)

(16.2)

(16.3)

называются объемным потенциалом, потенциалом простого поля, потенциалом двойного слоя, соответственно. Функция называется плотностью , а функция называется плотностью момента.

Физический смысл потенциалов.

Сосредоточенный в точке заряд создает в точке энергетическое поле с напряженностью . Для простоты далее будем считать . Легко видеть, что , где . Функция называется потенциалом поля точечного заряда . Обычно принято считать , чтобы . При наличии нескольких точечных зарядов их потенциалы складываются, следовательно, потенциалы, создаваемые непрерывно распределенными зарядами, находятся в виде предела суммы, т.е. в виде интеграла.

Если заряд распределен с объемной плотностью в области , то создаваемый им потенциал определяется формулой (16.1), если заряд распределен по поверхности с поверхностной плотностью , то создаваемый им потенциал определяется формулой (16.2).

Два точечных заряда и , расположенных на расстоянии при

малом составляют так называемое диполь (см. рис. 14). Величина называется моментом диполя ( - вектором момента). Пусть , но при этом меняются так, что . Определим потенциал диполя как ,где .

Пусть теперь дана ориентированная поверхность . Пусть на распределен диполь с плотностью момента , причем при каждом направление оси диполя параллельно нормалям к . Потенциал, создаваемый диполем, определяется формулой (16.3), где - направлено от к , - внутренняя нормаль в точке . Рассматриваемое распределение диполя может нами пониматься, как предел при двух наложенных на распределений зарядов с плотностью и на расстоянии (по нормалям к ). В дальнейшем будем считать, что (наоборот) и - внешняя нормаль к .

§ 17. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Изложим некоторые положения теории несобственных интегралов, зависящих от параметра.

1. Рассмотрим интеграл

, (17.1)

где - непрерывная функция переменных . В точке терпит разрыв. Если при этом справедлива оценка , то рассматриваемый интеграл сходится абсолютно.

Определение. Интеграл (17.2) называется равномерно сходящимся в точке , если для любого существует , такое, что имеет место неравенство , для любой точки и для любой области , содержащей и имеющей диаметр .

Теорема 10. Равномерно сходящийся в точке интеграл (17.1) есть функция , непрерывная в точке .

Доказательство. Возьмем произвольное и выделим согласно определению равномерной сходимости интеграла (17.1) в точке . Представим интеграл (17.1) в виде

.

Тогда . Пусть . Тогда, в силу равномерной сходимости интеграла (17.1) в точке , имеем и, следовательно,

. (17.2)

В интеграле интегрирование совершается по , а , поэтому непрерывна в точке и некоторой ее окрестности. Следовательно, для всех , достаточно близких к : , отсюда и из (17.2) получаем оценку . Теорема доказана.

Пусть - замкнутая поверхность и непрерывна при , а при . Тогда интеграл

(17.3)

является непрерывной функцией , когда . Если , то , как функция , непрерывна на , за исключением случая . Исключим точку вместе с некоторой малой окрестностью диаметра . На оставшейся поверхности непрерывна и ограничена, поэтому

существует интеграл

. (17.4)

Если при произвольном стягивании области к точке интеграл (17.4) стремится к определенному конечному пределу, не зависящему от выбора областей , то этот предел и называют несобственным интегралом от функции по поверхности

(17.5)

Интеграл (17.5) называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл . Если последний интеграл сходится, то сходится и интеграл (17.5).

Определение. Интеграл (17.3) называют равномерно сходящимся в точке , если для любого найдется такая окрестность и такая часть поверхности , содержащая строго внутри точку , что для любого интеграл

Теорема 11 (доказательство аналогично предыдущему). Равномерно сходящийся в точке интеграл (17.3) есть функция , непрерывная в точке .