§ 14. Представление решения задачи Дирихле

для уравнения Пуассона через функцию Грина

Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона

(14.1)

(14.2)

Предположим, что - функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области . Напомним, что функция представима в виде

(14.3)

(14.4)

Подставим в основную формулу теории гармонических функций (13.8), получим

Итак,

. (14.5)

Если функция Грина и ее производная существуют, то эта формула дает решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Тем самым решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона сможет быть заменено разысканием функции , соответствующей уравнению Лапласа, т.е. задачи, рассмотренной нами ранее.

Полученный результат непосредственно распространяется на внешнюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа . Это вытекает из совпадения основных формул теории гармонических функций для ограниченной и неограниченной областей. Что же касается внешней задачи Дирихле для уравнения Пуассона, то проведение рассуждений, аналогичных проведенным для внутренней задачи, требует обобщения формулы (13.7) для негармонических функций, из которой была получена основная формула теории гармонических функций. Последнее возможно, если повторить проведенные выше рассуждения для основной формулы, следовательно, достаточно, чтобы решение уравнения Пуассона удовлетворяло на бесконечности неравенствам

, (14.7)

при дополнительном условии, что интеграл имеет смысл. В самом деле, для обобщения этой формулы достаточно провести те же рассуждения, что и ранее для основной формулы. Неравенства (14.7) носят название условий регулярности на бесконечности. Итак, решения рассматриваемого класса внешней задачи Дирихле для уравнения Пуассона, регулярные на бесконечности, при условии, что интеграл имеет смысл, также представимы в виде , если только соответствующая функция Грина существует.

§ 15. Представление решения третьей краевой задачи

для уравнения Пуассона с помощью функции Грина

Рассмотрим задачу

(15.1)

(15.2)

Воспользуемся тождеством

введем для кратности операторное обозначение и преобразуем формулу (13.8) к виду

. (15.3)

Пусть , где и , т.е. - функция Грина третьей краевой задачи. Для этого функция

должна быть решением граничной задачи

.

Подставим в (15.3) значения величин и и, положив , получим интегральное представление решения рассматриваемой задачи

, если . (15.4)

Перейдем к задаче Неймана

. (15.5)

Проведя те же рассуждения, что и для смешанной задачи, придем к выводу, что решение задачи Неймана выражалось бы формулой (15.4), если бы функция была решением граничной задачи

.

Но такой функции нет. В самом деле, положив в основной формуле теории гармонических функций (13.8): , найдем что

, но следовательно

, хотя, согласно (3.2), интеграл . Так как не

существует решения задачи , то не существует и функции , имеющей нормальную производную, равную нулю на границе ограниченной области. Тем не менее, может существовать функция , нормальная производная которой на границе области постоянна и которая в связи с этим может играть роль, аналогичную роли функции Грина третьей краевой задачи для уравнения Пуассона. Чтобы найти эту функцию, изменим граничное условие в задаче для определения , положив , . Легко видеть, что соотношение теперь выполнено и, следовательно, функция может существовать. Определив с ее помощью функцию Грина , найдем, что . Подставив в формулу (13.8) (при )

значения , и , получим

. (15.6)

Интеграл в (15.6) представляет собой среднее значение неизвестной функции на границе , которое, вообще говоря, неизвестно. Однако, как мы знаем, решения внутренней задачи Неймана определены лишь с точностью до постоянного слагаемого, подбором которого среднее значение решения на границе может быть сделано любым. Следовательно, рассматриваемый интеграл должен рассматриваться как произвольная постоянная.

Таким образом, найдя решение задачи

;

и определив по формуле функцию Грина этой задачи, можно по формуле

(15.7)

определить то из решений внутренней задачи Неймана, среднее значение которого на поверхности равно нулю. Все остальные решения задачи Неймана могут быть получены прибавлением к этому решению произвольной постоянной.

В отношении распространения формулы (15.7) на внешние третью краевую задачу и задачу Неймана, справедливы те же рассуждения, что и для первой краевой задачи: на внешние задачи для уравнения Лапласа она распространяется непосредственно, а для уравнения Пуассона - при условии сходимости интеграла . При этом внешняя задача Неймана каких-либо особенностей по сравнению с внешней смешанной задачей не имеет, так как условие не распространяется на функции, гармонические в неограниченной области.

Физический смысл функции Грина

Функция Грина имеет простой физический смысл потенциала, создаваемого точечными источниками. Поясним это на примере поля точечного электрического заряда. По закону Кулона в пустом пространстве потенциал поля единичного точечного заряда, расположенного в точке равен . Предположим, однако, что этот заряд расположен в полости внутри заземленного проводника (см. рис. 13). При этом на границе полости будут индуцированы заряды, потенциал которых таков, что их поле в области должно компенсировать поле точечного заряда, так как потенциал заземленного проводника равен нулю. Вследствие этого, потенциал на границе полости должен удовлетворять граничному условию . Отсюда видно, что потенциал полного поля в полости имеет вид и представляет функцию Грина задачи Дирихле, поставленной для образованной полостью области.