9. Поняття кортежу та впорядкованої пари. Поняття кортежу довжини n. Рівні пари та кортежі.

9. Що можна сказати про порядок розміщення елементів у множині? – у загальному випадку він не має принципового значення. Але для певних множин він важливий. Перейдемо до розгляду упорядкованих множин. Число 39 можна записати за допомогою двох цифр 3 і 9. Ці цифри слід ставити в певному порядку: спочатку 3, а потім 9. Якщо їх переставити, то одержимо інше число, а саме 93. Говорять, що (3;9) – це впорядкована пара чисел. Впорядковану пару чисел х і у будемо записувати таким, чином: (х;у). Число 55 записується за допомогою двох однакових цифр, тобто цифри утворюють впорядковану пару чисел (5;5). Таким чином, у впорядкованих парах елементи можуть повторюватися. Впорядковані пари можна складати не лише із чисел, а також і з елементів будь-яких множин.

Означення: Упорядкованою парою або кортежем довжини 2 називають таку множину з двох елементів а і в, у якій істотним є не тільки самі елементи, але й порядок їх розміщення у множині (а,в).

Елементи впорядкованої пари називаються компонентами або координатами. Впорядковану пару (а,в) ще називають кортежем довжини 2 і позначають а,в. Аналогічно можна визначити поняття впорядкованої трійки або кортежу довжини три, впорядкованої четвірки або кортежу довжини чотири тощо. Як би ви ввели поняття кортежу довжини к? – впорядкована множина, яка містить к елементів, тобто (а₁,а₂,а₃,...,а_к). Прикладом впорядкованих трійок можуть бути: (2,1,3), (2,2,3), (1,2,8) тощо.

Означення: Дві пари (а,в) і (с,d) називаються рівними, якщо відповідні компоненти їх рівні, тобто (а,в)=(с,d) тоді і тільки тоді, коли а=с і в=d.

Розглянемо дві множини Х={а,в,с} і У={3,9}. Утворимо із елементів цих множин пари таким чином, щоб перша компонента пари належала множині X. а друга - множині У. Всі пари утворять множину: {(а,3), (а,9), (в,3), (в,9), (с,3), (с,9)}. Її називають декартовим (або прямим) добутком множин Х і У і позначають ХУ.

Означення: декартовим добутком множин Х і У називається множина ХУ впорядкованих пар (х;у) таких, що хєХ і уєУ.

_{Символічно
це означення можна записати так:}ХУ={(х;у)/хєХ і уєУ}. Якщо множини Х і У співпадають, тобто Х=У, то множина ХХ складається із всіх пар (х;х) таких, що хєХ і називається декартовим квадратом. Вона позначається Х². Аналогічно можна означити декартів добуток трьох, чотирьох і будь-якого скінченного числа множин.

Означення: декартовим добутком множин А₁, А₂,..., А_n називається множина кортежів (а_1, а₂,_, а₃, ...,а_n) довжини n таких, що а₁А_1, а₂А₂, а₃А₃, …, а_nА_n, тобто А₁А₂А₃..А_n={(а_1, а₂,_, а₃, ...,а_n)/а₁А_1, а₂А₂, а₃А₃, …, а_nА_n }.

Як же можна задавати декартів добуток множин? – оскільки декартів добуток є множиною, то його можна задавати тими ж способами, що і множини, тобто: 1) переліком всіх пар, що входять до нього, наприклад ХУ={(а,3), (а,9), (в,3), (в,9), (с,3), (с,9)}; 2) описом або за допомогою характеристичної властивості, наприклад: ХУ={(х;у)/хХ і уУ}. Крім того, декартів добуток множин можна задавати ще й такими способами: 3) табличним, коли елементи, які належать декартовому добутку множин розміщують у вигляді таблиці, в якій у стовпчиках розміщені елементи множини X, а в рядках - елементи множини У, а елементи множини ХУ пишуть на перетині відповідних рядків і стовпців (див. малюнок 19); 4) аналітично, тобто за допомогою формули, наприклад: у=5х-7; 5) графічно, коли елементи декартового добутку множин зображаються точками декартової прямокутної системи координат; 6) за допомогою графа (див. малюнок 20).

Розглянемо властивості декартового добутку множин.

1. АВВА – ця нерівність говорить про те, що декартів добуток множин немає властивості комутативності.

2. (АВ)С=(АС)(ВС).

3. А(ВС)=(АВ)( АС).

4. (АВ)С=(АС)(ВС).

5. А(ВС)=(АВ)(АС).

6. (А\В)С=(АС)\(ВС).

7. А(В\С)=(АВ)\(АС).