Діаграма № 6: перевірка правильності міркувань за допомогою кругів Ейлера.

5*. Алгоритми. Основні властивості алгоритмів. Приклади алгоритмів, що використовуються в курсі математики початкової школи.

5*. Поняття алгоритму зустрічається як в математиці, так і в повсякденному житті. Точне визначення алгоритму в математиці не в усьому співпадає з інтуїтивним розумінням цього поняття в практичній діяльності людей. Термін алгоритм увійшов у активний словниковий запас людей завдяки значному застосуванню електронно–обчислювальної техніки в сучасному виробництві. Поняття алгоритму є одним із основних понять математики та інформатики. Ще задовго до використання інформатики в математиці застосовувалися різні алгоритми (або алгорифми). Зокрема, алгоритм письмового додавання, віднімання, множення, ділення, розкладу числа на прості множники, алгоритм Евкліда для знаходження НСД тощо.

Під алгоритмом розуміють точні вказівки щодо виконання у певному порядку деякої серії операцій для розв’язування задач певного типу. Наприклад: для рівняння ах=b маємо: 1. Якщо а≠0, то х=b:а. 2. Якщо а=0 і b≠0, то рівняння розв’язку немає. 3. Якщо а=b=0, то рівняння 0х=0 має безліч розв’язків, тобто х - будь-яке дійсне число.

Застосування алгоритму через скінченне число кроків приводить до розв’язання кожної задачі даного типу. Спільним для всіх алгоритмів є його характерні ознаки, до яких відносимо:

• повну визначеність алгоритму, тобто алгоритм повинен привести до результату;

• масовість алгоритму, тобто він повинен мати можливість застосуватись до множини випадків.

Алгоритми, за якими розв’язування поставлених задач зводиться до чотирьох арифметичних дій, називають числовими алгоритмами.

У теорії алгоритмів виділяють такі основні їх властивості:

1. Визначеність алгоритму, тобто алгоритм повинен бути записаним так, щоб не можна було неоднозначно тлумачити його вказівки.

2. Масовість алгоритму, тобто застосовність алгоритму до всіх задач одного типу.

3. Результативність алгоритму, тобто алгоритм повинен бути таким, щоб через певне число кроків, діючи за вказівками алгоритму, можна було б одержати розв’язок потрібної задачі даного типу.

4. Формальність алгоритму, тобто алгоритм повинен бути таким, щоб діючи за його вказівками, можна було б правильно виконати весь алгоритм.

Із курсу інформатики відомо, що існують такі способи описання алгоритму: а) словесний; б) табличний; в) графічний. Коли описують алгоритм, то ставлять певні вимоги, серед яких ми виділимо: точність, лаконічність, зрозумілість. Із курсу інформатики відомі декілька видів алгоритмів, серед яких ми виділимо: 1) лінійні алгоритми; 2) алгоритми з розгалуженнями; 3) циклічні алгоритми.

Означення: алгоритм називається лінійним, якщо в ньому дії виконуються послідовно одна за одною.

Означення: алгоритмом із розгалуженням називається алгоритм, в якому послідовність виконання операцій залежить від певних умов.

Означення: циклічним називається алгоритм, в якому група вказівок повторюється декілька разів.

В інформатиці сукупність засобів і правил запису алгоритмів називають алгоритмічною мовою.

Означення: програмою називають алгоритм, записаний на зрозумілій машині мові.

Означення: програмою називають послідовність команд, які повністю описують певний обчислювальний процес. Кожна команда описує певну частину обчислювального процесу.

Процес підготовки математичної задачі для її розв’язування на ЕОМ після вибору числового методу розв’язування називають програмуванням. В інформатиці виділяють такі етапи програмування: а) побудова алгоритму; б) розміщення в запам’ятовуючих пристроях машини вихідних даних, команд, допоміжних чисел, а також проміжних і кінцевих результатів; в) складання команд; г) перевірка і уточнення команд або програми.

Як в повсякденному житті, так і в математиці зустрічається дуже багато алгоритмів. Алгоритми зустрічаються вже в курсі математики початкової школи. Як правило, термін “алгоритми” для запам’ятовування молодшими школярами не вводиться. До алгоритмів, з якими зустрічаються неявно учні початкових класів в курсі математики можна віднести такі: 1) найрізноманітніші алгоритми усних та письмових обчислень; 2) алгоритми побудови геометричних фігур; 3) алгоритми розв’язування деяких типів задач; 4) алгоритми обчислення числових значень виразів із змінною при заданих значеннях букви. Досить часто вказані алгоритми даються учням у вигляді вказівок, які одержали назву алгоритмічних приписів. Наприклад, алгоритм множення двоцифрового числа на одноцифрове матиме такий вигляд: 1. Розклади перший множник на суму розрядних доданків: 23=20+3. 2. Помнож перший доданок на 4. 3. Помнож другий доданок на 4. 4. До 2 додай 3. 5. Запиши результат.

Алгоритм письмового ділення багатоцифрового числа на одноцифрове матиме такий вигляд: 1. Утвори перше неповне ділене. 2. Визнач кількість цифр у частці. 3. Поділи перше неповне ділене на дільник. 4. Запиши першу цифру частки. 5. Перевір першу цифру частки. 6. Перевір, чи правильно знайшли першу цифру частки. 7. Утвори друге неповне ділене. 8. Знайди другу цифру частки. 9. Перевір другу цифру частки. 10. Перевір, чи правильно знайдено другу цифру частки. 11. Утвори третє неповне ділене. 12. Знайди третю цифру частки. 13. Перевір третю цифру частки. 14. Закінчи обчислення.