4. Операція об’єднання (додавання) множин та основні властивості (закони) цієї операції.
4. Розглянемо дві множини: А={2,3,4} і В={2,4,6}. Утворимо нову множину С={2,3,4,6}. Із яких елементів складається множина С? – із елементів, які входять хоча б в одну із множин. Множину С, яка складається із елементів, що належать хоча б одній із множин А чи В, називають об’єднанням множин А і В. Її позначають С=А.
Означення: Об’єднанням множин А та В називають третю множину АВ, що складається із елементів, які входять хоча б в одну із множин А чи В.
Символічно наведене означення можна записати так: АВ={х /хА або аВ}. На діаграмі Ейлера-Венна ця множина зображена на малюнку 6.
Малюнок 6: об’єднання множин ав.
Операція об’єднання може поширюватись на три і більше множин. Вона підкоряється певним законам, серед яких є такі, справедливість яких випливає безпосередньо із означення об’єднання, та такі, які слід доводити. До законів (властивостей) об’єднання, справедливість яких легко обґрунтувати, виходячи із означення об’єднання множин, відносяться:
.
U=U.
- закон ідемпотентності (незмінності).
До законів, які слід доводити одним із можливих способів (міркуваннями або за допомогою діаграм Ейлера-Венна) відноситься переставний або комутативний закон: . Для його доведення використовуємо діаграми Ейлера-Венна. Намалюємо дві однакові діаграми, на лівій із яких зображатимемо ліву частину рівності, а на правій – праву. На лівій діаграмі заштрихуємо множину горизонтальними штрихами, а множину - вертикальними Множина зображається тією частиною універсальної множини, де є або горизонтальні, або вертикальні штрихи. На правій діаграмі множину заштрихуємо вертикальними штрихами, а множину В - горизонтальними. Множина зображається на правій діаграмі тією частиною універсальної множини, де є або вертикальні, або горизонтальні штрихи. Порівнюючи їх, бачимо, що множини і зображаються на них однаковими частинами універсальної множини, а тому можна стверджувати, що . Закон доведено (див. малюнок 7).
АВ ВА
Малюнок 7: доведення переставного закону .
Доведемо сполучний або асоціативний закон ()С=(С) за допомогою міркувань. Оскільки дві множини вважаються рівними, якщо кожен елемент першої множини є елементом другої і, навпаки, кожен елемент другої множини є елементом першої множини, то доведення складається з двох частин. У першій частині доведемо, що кожен елемент, що належить лівій частині асоціативного закону, є елементом і правої частини.
1. Нехай х()С. Згідно означення об’єднання множин це означає, що: або 1) х(), або 2) хС, або 3) х і хС. Якщо х, то або 1) х, або 2) х, або 3) х і х. Якщо х, то, переходячи до правої частини закону, на основі означення об’єднання множин можна стверджувати, що х(С). Якщо х, то хС, тобто х(С). Якщо х і х, то х(С). Якщо ж, нарешті, хС, то х(С), а тому х(С). Таким чином ми показали, що будь-який елемент лівої частини рівності належить правій частині рівності. Оскільки елемент у лівій частині ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити для будь-якого елемента лівої частини. Отже, кожен елемент лівої частини рівності є елементом правої частини рівності. Перша частина теореми доведена.
2. Доведемо, що кожен елемент правої частини є елементом лівої. Нехай у(С). Згідно означення об’єднання множин можливі такі випадки: або 1) у, або 2) уС, або 3) у і уС. Якщо у, то у, а тому у()С. Якщо уС, то або 1) у, або б) уС, або в) у і уС. Якщо у, то у тоді у()С. Якщо уС, то у()С. Якщо у і уС, то у()С. Аналогічно легко довести справедливість рівності у випадку, коли у і уС. Оскільки елемент у в правій частині ми вибрали довільно, то наші міркування можна повторити для кожного із елементів правої частини. Отже, кожен елемент правої частини є елементом лівої. Другу частину теореми доведено.
Таким чином, кожен елемент лівої частини є елементом правої частини і, навпаки. А тому, ліва і права частини рівності складаються з одних і тих самих елементів. А це означає, що ()С=(С). Закон доведено.
Приклад: утворити об’єднання множин А та В, якщо множина А={1,2,3,4,5}, а В=а,в,с. а,в,с.