Доведення:

Для виведення першої формули проведемо діагональ ВД і висоту ВК (див. мал. №21). Діагональ ВД поділяє паралелограм АВСД на два рівних трикутника (АВД=ВСД). Тоді S(АВСД)=S(АВД)+S(ВСД)=2S(АВД). Оскільки S(АВД)=¹/₂АДВК, то S(АВСД)=2¹/₂АДВК=АДВК. Позначивши АД=а, ВК=h, маємо S(АВСД)=аh.

Для виведення другої формули врахуємо, що S(АВСД)=S(АВД)+S(ВСД)=2S(АВД), АВ=а, АД=b і ВАД=. Знайдемо ВК із АВК. ВК:АВ=sin. Оскільки S(АВД)=¹/₂АДВК=¹/₂АДАВsin, то S(АВСД)=аbsin. Другу формулу також виведено.

В С

а

А К b Д

Малюнок № 21.

Для виведення третьої формули проведемо у паралелограмі АВСД діагоналі АС=d₁, ВД=d₂ і позначимо АОВ=. Тоді АОД=180-. S(АВСД)=2S(АВД)=2S(ВОА)+2S(АОД)=2¹/₂ВОАОsin+2¹/₂АООДsin(180-)=АО(ВОsin+ОДsin(180-)). Оскільки sin(180-)=sin, то S(АВСД)=АО(ВО+ОД)sin=АОВДsin=¹/₂АСВДsin. Врахувавши, що ВД=d₂ і АС=d₁, матимемо: S(АВСД)= ¹/₂АСВДsin=¹/₂d₁d₂. Теорему доведено повністю.

Теорема 7: Площа трапеції дорівнює добутку висоти на півсуму основ або обчислюється за формулами: 1) S=¹/₂(a+b)h, де a і b – основи трапеції, h – висота трапеції; 2) S=mh, де m=¹/₂(а+b). – середня ліній трапеції, h – висота трапеції.

Доведення:

Проведемо у трапеції АВСД (див. мал. № 22) діагональ ВД і висоту ВК. Тоді S(АВСД)=S(АВД)+S(ВСД)=¹/₂АДВК+¹/₂ВСВК=¹/₂ВК(АД+ВС)= ½(а+b)h=mh. Теорему доведено.

В а С

А К b Д

Малюнок № 22.

У практичній діяльності та в математиці доводиться досить часто знаходити не лише площі плоских фігур, але й площі поверхонь геометричних тіл. Нагадаємо, площею поверхні многогранника називають суму площ усіх його граней. Із шкільного курсу геометрії відомі наступні теореми та формули для їх знаходження:

1. площа бічної поверхні довільної призми дорівнює добутку периметра перпендикулярного перерізу призми на її бічне ребро;

2. площа повної поверхні довільної призми дорівнює сумі її бічної поверхні та площ основ;

3. площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра її основи на довжину бічного ребра;

4. площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра її основи на довжину апофеми;

5. площа повної поверхні правильної піраміди дорівнює сумі площі її бічної поверхні та площі основи;

6. площа бічної поверхні циліндра дорівнює добутку довжини кола його основи на висоту, тобто S_б.ц.=2RH;

7. площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі її бічної поверхні та площ його основ, тобто S_п.ц.=2RH+2R²=2R(H+R);

8. площа бічної поверхні конуса дорівнює половині добутку довжини кола його основи на довжину твірної, тобто S_б.к.=Rl;

9. площа повної поверхні конуса дорівнює сумі площі його бічної поверхні та площі його основи, тобто S_п.к.=Rl+R²=R(l+R);

10. площа поверхні кулі дорівнює почетвереній площі її великого круга, тобто S_кулі=4R²;