3. Вираз із змінною та його область визначення.

3. Одна із основних відмінностей між математичною та природною мовами полягає в застосуванні змінних. Якщо в природній мові змінні застосовуються для позначення будь-якого елементу деякої множини, то в математичній мові змінна використовується для позначення елементу будь-якої множини. Таким чином, змінні – це знаки, які відіграють роль порожніх місць у математичному тексті і які дозволяється заміняти іменами елементів із деяких множин. Вказані множини складають області значень цих змінних.

Вирази, які містять змінні, прийнято називати виразами із змінними. В математиці розглядаються вирази із однією а+2, двома 4х-у, трьома х+у-z, тобто з будь-якою кількістю змінних. Вираз із змінними не можна назвати ні висловленням, ні предикатом. Наприклад, про вираз 4а+8 не можна сказати істинний він чи хибний, а значить це не висловлення. Якщо ж ми підставимо замість змінної деяке її значення, то одержимо числовий вираз, який також не є висловленням. Домовимося позначати вирази із змінними так: f(х), g(у), F(х;у) тощо. Кожний вираз із змінною розглядається на певній множині, із якої набувають значень змінні. Цю множину називають множиною допустимих значень або областю визначення виразу.

Означення: множина значень, яких може набувати змінна х, для того щоб вираз f(х) мав смисл, називають множиною допустимих значень змінної або областю визначення виразу f(х).

Формування уявлень про змінну та вирази, що містять змінну, розпочинається ще в І-ІУ класах початкової школи. Однак терміни “змінна”, “вираз із змінною” не використовуються. В І–ІУ класах говорять про вираз, який містить букви. Учні читають, записують, підраховують значення таких виразів при заданих значеннях букв, з’ясовують, які значення може приймати та чи інша буква. Певне місце займають задачі з буквеними даними.

4. Тотожні перетворення виразів. Тотожності. Виведення основних тотожностей.

4. У математиці досить часто доводиться перетворювати вирази, що містять змінну. Особливу увагу при цьому мають перетворення, які не змінюють значення виразу.

Означення: Два вирази f(х) і g(х) називаються тотожньо рівними на множині Х, якщо виконуються наступні умови: 1) множини допустимих значень змінної в цих виразах співпадають; 2) для будь-якого числа х₀єХ справджується рівність f(х₀)=g(х₀).

Якщо сполучити два тотожно рівних вирази знаком рівності, то одержимо запис, який називають тотожністю. Наприклад, 5а+b=b+5а. Заміну одного виразу іншим, тотожньо рівним йому, називають тотожнім перетворенням виразу. Наприклад, вираз а²+2аb+b² можна замінити тотожно рівним йому виразом (а+b)². Твердження про тотожну рівність виразів є висловленнями, бо про такі вирази можна говорити хибні вони чи істинні. Для їх запису можна використовувати квантори. Наприклад, для наведеної вище тотожності можна використати квантор загальності і символічно записати тотожність так: (а,b)(а²+2аb+b²=(а+b)²).

У математиці доведено цілий ряд тотожностей, які широко використовуються при тотожних перетвореннях виразів та при розв’язуванні рівнянь і нерівностей. До них відносять принаймні наступні:

1) (а+b)²=а²+2аb+b² - квадрат суми двох чисел дорівнює квадрату першого числа плюс подвоєний добуток першого числа на друге плюс квадрат другого числа. Для виведення цієї тотожності зробимо такі перетворення: (а+b)²=(а+b)(а+b)=а²+аb+ab+b²=а²+2аb+b². Отже, тотожність (а+b)²=а²+2аb+b² доведено;

2) (а-b)²=а²-2аb+b² - квадрат різниці двох чисел дорівнює квадрату першого числа мінус подвоєний добуток першого числа на друге плюс квадрат другого числа. Пропонуємо студентам вивести цю тотожність самостійно, виконавши завдання для самостійної роботи;

3) а²-b²=(а-b)(а+b) – різниця квадратів двох чисел дорівнює добутку їх різниці на їх суму;

4) (а+b)³=а³+3а²b+3аb²+b³ - куб суми двох чисел дорівнює кубу першого числа плюс потроєний добуток квадрата першого числа на друге число плюс потроєний добуток першого числа на квадрат другого числа плюс куб другого числа. Доведення цієї тотожності проводиться аналогічно до першої, тобто (а+b)³=(а+b)(а+b)²=(а+b)(а²+2аb+b²)=а³+2а²b+аb²+а²b+2аb²+b³=а³+3а²b+3аb²+b³. Тотожність доведено;

5) (а-b)³=а³-3а²b+3аb²-b³ - куб різниці двох чисел дорівнює кубу першого числа мінус потроєний добуток квадрата першого числа на друге число плюс потроєний добуток першого числа на квадрат другого числа мінус куб другого числа. Доведення цієї тотожності проводиться аналогічно до попередньої, а тому пропонуємо це зробити самостійно;

6) а³-b³=(а-b)(а²+аb+b²) – різниця кубів двох чисел дорівнює різниці цих чисел помноженій на неповний квадрат суми цих чисел. Для доведення цієї тотожності візьмемо ліву частину рівності та розкриємо в ній дужки. Маємо: (а-b)(а²+аb+b²)=а³+а²b+аb²-а²b-аb²-b³=а³-b³. Тотожність доведено;

7) а³+b³=(а+b)(а²-аb+b²) – сума кубів двох чисел дорівнює сумі цих чисел помноженій на неповний квадрат різниці цих чисел. Доведення цієї тотожності пропонуємо провести самостійно;

8) cos²α+sin²α=1;

9) tgα=sinα/cosα;

10) ctgα=cosα/sinα.