2. Основні геометричні побудови циркулем і лінійкою.

2. У чому суть задачі на побудову геометричних фігур на площині? – за даними елементами геометричної фігури слід знайти інші, шукані елементи, які перебувають один до одного і до даних елементів у певних співвідношеннях і які можна побудувати за допомогою певних креслярських інструментів. Коли з’явилися задачі на побудову? – ще у давні часи, зокрема у стародавній Греції у 6-5ст. до н.е. (Піфагор, Гіппократ, Платон, Евклід та ін.).

Коли задачі на побудову циркулем і лінійкою вважаються розв’язаними? – коли вони зведені до виконання скінченого числа елементарних операцій, виконуваних циркулем і лінійкою. Які ж операції називаються елементарними? – це найпростіші побудови, до яких відносять побудову променя, відрізка, прямої, кола, дуги кола; точки перетину прямих, кола і прямої, двох неконцентричних кіл; побудова точки, яка належить або не належить даній фігурі.

Як практично розв’язують задачі на побудову? – шляхом зведення до певного числа деяких відомих задач на побудову, які називаються основними задачами на побудову циркулем і лінійкою. Які ж задачі вважаються основними задачами на побудову циркулем і лінійкою? – 1) побудова відрізка і кута, що дорівнює даному; 2) поділ даного кута або відрізка навпіл; 3) поділ даного відрізка на кілька рівних частин; 4) побудова прямої, перпендикулярної до даної прямої; 5) побудова прямої, паралельної даній прямій; 6) побудова трикутника: за трьома сторонами; за двома сторонами і кутом між ними; за стороною і прилеглими до неї двома кутами; 7) побудова прямокутного трикутника: за гіпотенузою і катетом; за гіпотенузою і гострим кутом; за двома катетами; 8) побудова кола, вписаного або описаного навколо чотирикутника; 9) побудова дотичних до даного кола, які проведені з даної точки; 10) побудова спільної дотичні до двох даних кіл.

Чи всяку задачу на побудову можна розв’язати циркулем і лінійкою? – ні, задача на побудову фігури, яка визначається її n точками, буде визначеною, якщо в умові маємо 2n-3 даних. Так, наприклад, для трикутника потрібно мати 2•3-3=3, тобто слід мати 3 елемента; для чотирикутника 2•4-3=5 елементів; для п’ятикутника 2•5-3=7 елементів. Яка ж схема розв’язування задач на побудову? – вона складається з таких структурних елементів:

1. етап аналізу, під час якого на основі відомих теорем і властивостей встановлюються залежності між даними і шуканими елементами фігури з метою відшукання способу розв’язання задачі. Для цього припускають, що задача розв’язана і на виконаному від руки малюнку, встановлюють взаємні зв’язки між даними і шуканими елементами, з’ясовують послідовність побудов, які приводять до розв’язання задачі;

2. етап побудови, полягає у наступному переліку і виконанні найпростіших і основних побудов, зазначених в аналізі;

3. етап доведення, який полягає у встановленні того факту, що побудована фігура задовольняє всі умови задачі;

4. етап дослідження, сутність якого полягає у з’ясуванні питання про те, чи при будь-якому виборі даних задача має розв’язок та встановленні кількості різних розв’язків задачі.

Як же виконати основні побудови? – для цього пропонуємо студентам виконати завдання для самостійної роботи або вивчити відповідні побудови з шкільного підручника геометрії. Разом з тим, наведемо приклади деяких побудов:

Побудова кута, що дорівнює даному (див. малюнок № 7).

А М

В О

С К

Малюнок № 7.

Нехай нам слід побудувати кут, що дорівнює куту АВС. Якщо не вказаного вершину кута, який необхідно побудувати, то проводимо довільний промінь і на ньому позначаємо точку О. Довільним розхилом циркуля з центром в точці В проводимо дугу, яка перетинає сторони кута АВС. Цим же розхилом циркуля проводимо дугу з центром в точці О. Нехай промінь перетинається з цією дугою в точці К. Вимірюємо циркулем розхил АС і з центром в точці К проводимо дугу до перетину в точці М з іншою дугою. Проводимо промінь ОМ. Отримали МОК= АВС.

Поділ відрізка пополам.

Нехай нам задано відрізок АВ, який потрібно поділити на дві рівні частини. Розхилом циркуля, більшим за половину відрізка АВ, проводимо дві дуги з центрами в кінцях відрізка. Нехай вони перетнулися в точках С і Д. Через ці точки проводимо пряму, яка перетне заданий відрізок АВ у точці О, яка і буде серединою заданого відрізка (див. мал. № 8).

С

А О В

Д

Малюнок № 8.

Поділ кута пополам.

Нехай задано кут АВС, який необхідно поділити навпіл. Проводимо довільним розхилом циркуля дугу кола з центром в точці В, яка перетинає сторони кута в точках А і С. Проводимо розхилом циркуля, більшим за половину дуги АС, дві дуги з центрами в точках А і С. Нехай точка їх перетину буде Д. Проводимо промінь ВД, який поділяє кут АВС навпіл (див. мал. № 9).

А

Д

В

С

Малюнок № 9.

Побудова прямої, яка проходить через дану на ній точку, перпендикулярно до даної прямої.

Нехай нам задано деяку пряму АВ, на якій позначено точку С. Потрібно побудувати пряму, яка б проходила через точку С, перпендикулярно до прямої АВ. Довільним розхилом циркуля з центром в точці С робимо дві засічки. Одержали відрізок, кий необхідно поділити пополам. Побудувавши пряму КС, ми отримаємо пряму, яка проходить через точку С перпендикулярно до прямої АВ (див. мал. № 10).

К

А С В

Малюнок № 10.

Побудова трикутника за трьома сторонами.

Нехай нам задано три відрізка a, b, c і необхідно побудувати трикутник, сторони якого б дорівнювали цим відрізкам. На довільній прямій МК відкладаємо відрізок, що дорівнює відрізку а. Нехай його кінцями будуть точки В і С. З центром в точці В розхилом циркуля, що дорівнює відрізку c, проводимо дугу. З центром в точці С розхилом циркуля, що дорівнює відрізку b, проводимо дугу. Нехай проведені дуги перетинаються в точці А. Проводимо відрізки АВ і АС. Тоді трикутник АВС буде шуканим (див. мал. № 11). Зазначимо, що задача може не мати розв’язку, якщо сума відрізків двох відрізків менша, за третій відрізок.

а А

b

c

В С

Малюнок № 11.