3. Основные понятия теории вероятности

Теория вероятности – математическая наука, изучающая количественные закономерности случайных явлений. Она базируется на ряде основных понятий и определений. Для изучения разнообразных явлений реального мира в процессе научных исследований проводятся многочисленные опыты и измерения.

Наблюдения – основа всех научных исследований. Признаки объекта, выявленные при наблюдении, могут быть количественными и качественными. Количественные признаки выявляются, как правило, путем измерения.

Измерения – это процесс сравнения определяемой величины с другой однородной ей величиной, значение которой известно. В результате измерения получают число, показывающее во сколько раз определяемая физическая величина больше или меньше величины, с которой ее сравнивали.

Испытание – осуществление каждого отдельного наблюдения, опыта или измерения.

Событие – качественный результат испытания.

Например, проверка годности или дефектности детали – испытание; обнаружение дефектной детали в партии – событие.

Частость и вероятность события

Частостью, или относительной частотой некоторого события называют отношение числа его появления к числу всех произведенных испытаний, в каждом из которых это событие одинаково возможно.

Если w – частость, M – число раз появления события, N – число всех произведенных испытаний, то

= (1)

Пример: Определить частость дефектных изделий, если среди проверенных N = 1000 изделий обнаружено М = 20 дефектных.

= = = 0,02

Вероятность – отношение числа благоприятствующих случаев к общему числу всех возможных случаев. Как правило, вероятность события А обозначают через Р (А), тогда

(2)

где М – число случаев, благоприятствующих некоторому событию,

N – число всех возможных случаев.

Пример: При бросании монеты возможны два случая: выпадание «орла» и выпадание «решки» (n=2). Наступлению событию А (выпаданию «орла») благоприятствует один случай, следовательно m=1.

Р (А) = = = 0,5

Случайные величины

Рассмотренные выше случайные события могут появляться или не появляться. Теперь рассмотрим такую величину, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Такая величина называется случайной. Случайные величины, принимающие только отдельно друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются дискретными случайными величинами.

Существуют случайные величины другого типа: действительный размер изделия; момент отказа некоторого изделия; вес взятого наугад изделия; время, затрачиваемое на ремонт изделия. Возможные значения таких случайных величин не отделены друг от друга – они непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными случайными величинами.

Методы задания законов распределения случайных величин

Рассмотрим дискретную случайную величину х с возможными значениями х₁, х₂, х₃…х_n.. В результате опыта случайная величина х может принять каждое из этих значений с некоторой вероятностью Р_i

Р(х=х₁) = Р₁ Р(х=х₂) = Р₂ …. Р(х=х_n) = Р_n

Законом распределения случайной величины называют всякое соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Аналитическое распределение задается в виде формулы

Р(х_i) = φ(х_i) (3)

Примером такого выражения может служить вероятность появления события m раз при n испытаниях, вычисляемая по формуле биноминального распределения

Р_m,n = С_n^m P^m q^n-m , (4)

где Р_m,n – вероятность появления события m раз при n независимых испытаниях,

Р – вероятность появления события при одном испытании,

q = 1- P – вероятность непоявления события при одном испытании,

С _n^m = число сочетаний из n по m (5)

Совокупность вероятностей Р_m,n называется биноминальным законом распределения.

Числовые характеристики случайных величин

Теоретическое распределение характеризуется величиной своих основных параметров: Математическим ожиданием M(х) – центром группирования и дисперсией D(x) – величиной рассеивания. Для дискретной величины

М(х) = Р(x_i) (6) D(x) = (x_i – M(x) )² (7)

Для непрерывной случайной величины, заданной своей плотностью вероятности φ(х), математическое ожидание и дисперсия равны

M(x) = φ(x) dx (8) D(x) = x² φ(x) dx – (M(x) )² (9)

Распределение дискретных случайных величин

Биноминальное распределение образуется при следующей модели. В партии содержится N изделий (M – годных, N – M – бракованных). Вероятность извлечения годного изделия равна Р=M /N, бракованного q = 1 – P = N – M /N. Из партии берут любое изделие, определяют его качество, после чего возвращают обратно, а всю партию перемешивают. Затем берут наугад второе изделие, контролируют и опять возвращают в партию. Вероятность извлечения m годных изделий из n проконтролированных равна

Р_m,n = C_n^m P^m q^n-m = P^m q^n-m (10)

Математическое ожидание и дисперсия годных изделий из n проконтролированных равна

M (m) = n P (11) σ ² (m) = n P q (12)

Этот закон распределения справедлив, например, для числа отказов, когда количество испытаний заранее фиксируются; для числа отказов за определенный промежуток времени, для числа бракованных изделий в выборках.

Распределение непрерывных случайных величин

Если Х – случайная величина, х – некоторое ее значение, то вероятность того, что Х > х равна F (x) = P (X<x)

Где F(x) – некоторая функция, называемая функцией распределения.

Плотность вероятности φ (х) есть предел отношения вероятности того, что случайная величина Х примет значение, лежащее между х и х+∆х в величине интервала при ∆х→ 0  (х) = (13)

Рис.2. Функция распределения Рис.3. Функция плотности

нормального закона нормального закона

Функция распределения нормального закона

F (x) = φ(x) dx (14)

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной величины

M(x) = = x φ(x) dx (15) D(x) = σ² = x² φ(x) dx – (16)

Нормальное распределение

Функция плотности вероятности и функция распределения имеют вид

φ(x) = = φ ( ) (17)

F (x) = dx = Ф ( ) (18)

Математическое ожидание и дисперсия

М (Х) = (19) D(X) = σ² (20)

Для нормированной случайной величины t = , в которой М(t)=0, D(t)=1

φ(t) = (21) Ф(t) = dt (22)

Экспоненциальное распределение

Этому распределению подчиняются наработки внезапных отказов и распределение между двумя последовательными отказами, если изделие работает в установившемся режиме

Функция плотности и функция распределения

φ(x) = (23) F(x) = 1– = 1 – (24)

где λ – постоянная величина (интенсивность отказов не зависит от времени)

если х

M (x) = = (25) σ = = (26)

Рис.4. Функция плотности экспоненциального распределения

Распределение Вейбула

Это распределение имеет пределы упругости стали, характеристики усталостной стойкости стали, сроки службы шарикоподшипников

Функции плотности и функции распределения

φ(x) = exp , (27) где m,x – постоянные параметры

F (x) = 1 – exp , (28) где exp =

Математическое ожидание и дисперсия равны

M (x) = Г (29) Интеграл вида Г (р) = dz (30)

Носит название гамма-функция, он табулирован

σ = (31)

Логарифмически-нормальное распределение

Распределение случайной величины У называется логарифмически-нормальным, если логарифм этой величины распределяется по нормальному закону φ(x) = , (32) где х = lg y

Рис. 5. Функция плотности логарифмически-нормального закона

Функция плотности логарифмически-нормального закона

exp (33)

Функция распределения

F (y) = = Ф ( ) (34)

Математическое ожидание

M (y) = exp ) (35)

Дисперсия D (y) = (M (y) )² (36)

Контрольные вопросы

1. Какое соотношение характеризует вероятность события?

2. Какие значения могут принимать дискретные случайные величины?

3. Какие значения могут принимать непрерывные случайные величины?

4. Какой параметр характеризует центр группирования случайной величины?

5. Какой параметр характеризует величину рассеивания случайной величины?

6. Какому значению равно математическое ожидание нормального распределения случайной величины?

7. Какому значению равна дисперсия нормального распределения случайной величины?

8. Какой величиной является интенсивность отказа случайной величины, подчиняющейся экспоненциальному распределению?

9. Какой величине равно математическое ожидание случайной величины, подчиняющейся экспоненциальному распределению?