1 Способ.

Дисперсия равна разности между средней квадратов вариантов и квадратом их средней.

(5.16)

Пример 5.1. Рассчитать дисперсию тарифных разрядов слесарей:

Тариф-ный разряд (х)	Число слеса-рей (f)	xf	x2f	(x-x0) x0=4
2	2	4	8	-2	-2	-4	8
3	6	18	54	-1	-1	-6	6
4	8	32	128	0	0	0	0
5	10	50	250	1	1	10	10
6	4	24	144	2	2	8	16
Итого	30	128	584			8	40

Средний тарифный разряд:

Средняя квадратов вариантов:

Дисперсия:

Средний квадрат отклонений тарифных разрядов от его средней величины составляет 1,3.

2 Способ.

Способ моментов основан на отсчете от условного начала (нуля):

(5.17)

Условные обозначения в этой формуле и методика расчета значений новых вариант та же, что в формуле (4.12).

Используя данные предыдущего примера, рассчитываем дисперсию тарифных разрядов слесарей методом моментов.

За х_о принимаем значение варианты, расположенной в середине ряда (х_о=4), h=1, тогда

Важной задачей при анализе совокупности является определение формы кривой распределения. Качественно однородные совокупности имеют одновершинную форму, которая может быть симметричной, асимметричной, островершинной или плосковершинной. Для сравнительного анализа степени асимметрии рассчитывают коэффициент асимметрии (А):

(5.18)

где - центральный момент 3-го ряда (5.19)

Если > 0, т.е. > Ме > Мо, то асимметрия является положительной со смещением влево. Если < 0, т.е. < Ме < Мо, то асимметрия является отрицательной со смещением вправо.

Показателем островершинности служит коэффициент эксцесса ( )

(5.20)

где - центральной момент 4-ого порядка (5.21)

При = 3 – нормальное распределение; > 3 – островершинное; < 3 – плосковершинное.

Вопросы для самоконтроля

5.1. Что такое мода и медиана?

5.2. В каких случаях применение моды и медианы предпочтительнее средней арифметической?

5.3. Назовите структурные средние в статистике.

5.4 Что такое вариация признаков?

5.5. Как следует понимать закономерность распределения? Можно ли ее количественно измерить?

5.6. По какой формуле целесообразно рассчитывать дисперсию, если средняя - дробное число, например, 2,687?

5.7 Можно ли сравнить вариации двух признаков, имеющих разное качественное выражение?

5.8. Изменится ли дисперсия, если все значения признака разделить (умножить) на одну и ту же величину?

5.9. Как определяется дисперсия альтернативного признака?

5.10. Какие Вы знаете показатели измерения вариации признаков?

5.11. Что показывает коэффициент вариации и для какой цели его рассчитывают?

5.12. Чем характеризуется ряд распределения?

5.13. Что представляет собой кумулятивный ряд?

5.14. Что показывают коэффициенты асимметрии и эксцесса?

5.15. Среднее значение признака у двух совокупностей одинаково. Может ли быть разной вариация признака в этих совокупностях?

а) да;

б) нет.

Среднее значение признака у двух совокупностей разное. Может ли быть одинаковой вариация признака в этих совокупностях?

в) да;

г) нет.

Ответ: 1) а,в; 2) а,г; 3) б,в; 4) б,г.

5.16. Дисперсия представляет собой:

а) средний размер отклонений вариант от средней;

б) средний квадрат этих отклонений.

Она может быть рассчитана:

в) только для количественного признака;

г) для количественного и альтернативного признака.

Ответ: 1) а,в; 2) а,г; 3) б,в; 4) б,г.

5.17. Идентичны ли по содержанию среднее линейное и среднее квадратическое отклонения?

а) да;

б) нет.

Равны ли они по абсолютной величине?

в) да;

г) нет.

Ответ: 1) а,в; 2) а,г; 3) б,в; 4) б,г.

Задачи для решения

Задача 5.1.

Распределение рабочих 3-х предприятий одного объединения по тарифным разрядам характеризуется следующими данными:

Тарифный разряд	Численность рабочих на предприятиях
	№1	№2	№3
1	50	20	40
2	100	180	60
3	150	150	200
4	450	300	400
5	200	100	250
6	150	130	100

Определите по каждому предприятию:

1. средний тарифный разряд рабочих;

2. моду, медиану, квартили тарифных разрядов;

3. все показатели вариации;

4. коэффициенты асимметрии и эксцесса.

Сделайте выводы.

Задача 5.2.

По данным задачи 4.18 выполнить полный анализ ряда распределения, определив:

1. структурные средние (моду, медиану, квартили);

2. показатели вариации (размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты вариации);

3. форму кривой распределения (коэффициенты асимметрии и эксцесса);

Сделать выводы.

Задача 5.3.

По результатам группировки, выполненной в задаче 4.17 рассчитать:

1. структурные средние;

2. показатели вариации;

3. установить форму распределения.

Сделать выводы.

Задача 5.4.

Если все частоты признака увеличить в 5 раз, а значения каждого признака уменьшить в 5 раз, как изменятся показатели?

1. средняя;

2. дисперсия;

3. коэффициент вариации.

Задача 5.4.

Дисперсия признака равна 81, средний квадрат индивидуальных значений его 250. Чему равна средняя арифметическая?

Задача 5.5.

Дневная выработка деталей токарями одной бригады составила 10, 12, 13, 17 шт., дисперсия 1,69. Определить коэффициент вариации выработки.

Задача 5.6.

Коэффициент вариации признака равен 40%. Чему будет равен коэффициент вариации, если все варианты уменьшить в 10 раз?

Задача 5.7.

Распределение семей в области по числу детей характеризуется следующими данными:

Число детей	0	1	2	3	4	5	6	Итого
Доля семей, % к итогу	6	28	22	19	14	4	4	100

Используя показатели асимметрии и эксцесса, сделайте выводы о форме распределения изучаемой совокупности семей.

Задача 5.8.

По размеру среднесуточной производительности агрегатов цехи распределились следующим образом:

Среднесуточная производительность агрегатов, тыс. т	4 - 6	6 - 8	8 - 10	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20	20	Итого
Число цехов	1	6	27	21	20	11	7	6	1	100

Используя функцию нормального распределения, определите теоретические частоты распределения цехов по среднесуточной производительности станов и с помощью критерия Колмогорова (χ²) проверьте, согласуется ли оно с нормальным распределением. Выводы сделайте с вероятностью 0,90.

Задача 5.9.

По данным группировки задачи 3.1 определите теоретические частоты распределения предприятий по численности работающих, соответствующее нормальному распределению, и с помощью критерия χ² проверьте существенность значений между теоретическими и эмпирическими частотами. Выводы сделайте с вероятностью 0,95.