9. Біфуркації і їх класифікація

   Основи математичної теорії біфуркацій були створені А. Пуанкаре і О. M. Ляпуновим на початку ХХ століття, а потім розвинені деякими школами. Теорія біфуркацій знаходить застосування в різних науках, починаючи від фізики і хімії, закінчуючи біологією і соціологією.

   Походження терміну біфуркація (від лат. Bifurcus - роздвоєний) пов'язане з тим фактом, що динамічна система, поведінка якої в рівноважній області описується системою лінійних диференціальних рівнянь, що мають єдине рішення, при зміні параметрів до деякого критичного значення, досягає так званої точки біфуркації - точки розгалуження можливих шляхів еволюції системи.   Цей момент (точка розгалуження) відповідає переходу системи в нерівноважний стан, а на рівні математичного опису йому відповідає перехід до нелінійних диференціальних рівнянь і розгалуження їх рішень. Біфуркацією називається придбання нової якості еволюції динамічної системи при малій зміні її параметрів. Біфуркація відповідає перебудові характеру руху чи структури реальної системи (фізичної, хімічної, біологічної і т. д.).

З позицій математики, біфуркація - це зміна топологічної структури розбиття фазового простору динамічної системи на траєкторії при малій зміні її параметрів.  Це визначення спирається на поняття топологічної еквівалентності динамічних систем: дві системи топологічно еквівалентні, якщо вони мають однакову структуру розбиття фазового простору на траєкторії, якщо рухи однієї з них можуть бути зведені до рухів іншої безперервної заміною координат і часу.

Прикладом такої еквівалентності служить рух маятника при різних величинах коефіцієнта тертя k: при малому терті траєкторії на фазовій площині мають вигляд скручених спіралей, а при великому – парабол.

Фазові портрети маятника при різних k: а – k< 2; б–k > 2.

Перехід від фазового портрету а до б не являє собою біфуркації, оскільки біфуркації - це перехід від даної системи до топологічно нееквівалентної.

Приклад: У математичній моделі виникненню осередків Бенара відповідає біфуркація появи нових станів рівноваги (відповідних комірчастої структурі).

Серед різних біфуркацій при аналізі моделей фізичних систем особливо цікаві, так звані, локальні - це біфуркації, при яких відбувається перебудова окремих рухів динамічної системи.

Найпростішими і найбільш важливими з них є: біфуркації станів рівноваги (осередки Бенара), біфуркації періодичних рухів.

В теорії катастроф біфуркація представляється як стрибкоподібна якісна перебудова системи при плавній зміні параметрів. (Наприклад: закипає вода, тане лід). До точки біфуркації система має один шлях розвитку, її поведінка повністю передбачувана. Біфуркація - катастрофічний стрибок, конфліктний зрив, вузол взаємодії між випадком і зовнішнім обмеженням, між коливаннями і необоротністю.

Прикладами біфуркації в різних системах можуть служити наступні: біфуркація річок - поділ русла річки та її долини на дві гілки, які в подальшому не зливаються і впадають в різні басейни; в медицині - поділ трубчастого органа (судини або бронха) на 2 гілки однакового калібру, відходять в сторони під однаковими кутами; механічна біфуркація - придбання нової якості в рухах динамічної системи при малій зміні її параметрів; в системі освіти - поділ старших класів навчального закладу на два відділення; біфуркація часу-простору (в науковій фантастиці) - поділ часу на кілька потоків, у кожному з яких відбуваються свої події. У паралельному світі у героїв бувають різні життя.

Те, що в синергетиці називають точкою біфуркації, в природничих науках називають фазовим переходом, в теорії соціальної трансформації - перехідним періодом.

Характерними рисами періоду соціальної біфуркації є: дезорганізація взаємодії суб'єктів соціальних відносин, ціннісна напруженість, протиріччя, конфлікти, обумовлюють спрямованість майбутнього розвитку суспільства, в якому визначаються можливості реалізації ціннісних підстав діючих в суспільстві суб'єктів.