14. Space time separation plot (графік просторово-часового відділення)

У теорії динамічного хаосу для виявлення нестаціонарності застосовують графічний тест, запропонований Провензалем у 1992 році, який отримав назву „графік просторово-часового відділення” (space time separation plot, STP). За цим тестом знаходять ймовірності того, що дві точки реконструйованого фазового простору розміщені на відстані меншій, ніж задана величина, що є функцією не лише від позиції у просторі, а також від часу між точками. Відповідно будують ізолінії, наприклад, на рівнях 10%, 20% … 100% для пар точок із заданим часовим інтервалом. Цей графічний тест із сімейства кривих із різним значенням густини ймовірності розподілу дозволяє ідентифікувати часову кореляцію всередині часового ряду.

Під насиченням розуміємо досягнення ізолініями певного рівня, на якому припиняється зростання чи спадання, а спостерігається коливання довкола деякого сталого значення. Власне наявність такого насичення і є ознакою стаціонарності часового ряду.

С лід зауважити, що перевірка стаціонарності не є основним призначенням STP-тесту. Окрім виявлення часової кореляції всередині часового ряду, можливої величини часової затримки, він також допомагає визначити розмірність так званого „вікна Зейлера”, яке використовується при аналізі поведінки динамічної системи методами теорії динамічного хаосу, зокрема, при обчисленні максимального показника Ляпунова, кореляційної розмірності та інших показників. Розмірність „вікна Зейлера” визначають як величину відстані (зображена на осі абсцис), при якій досягається перший локальний мінімум, спільний для всіх ліній однакової густини розподілу.

Р ис. 1Графік відділення проміжків часу b

Рис. 2 Графік відділення проміжків часу

15. Метод «сурогатних” даних

Інший оригінальний метод перевірки нелінійності часових рядів був запропонований Зейлером у 1992 р. і полягає у тестуванні так званих „сурогатних” даних [222]. Згідно з цим методом будують новий сурогатний часовий ряд, що має такі самі характеристики, як оригінальний часовий ряд, зокрема таке саме математичне сподівання, дисперсію, спектр Фур’є та кореляційну функцію, але згенерований стаціонарним лінійним стохастичним процесом. Далі формулюється нульова гіпотеза про те, що оригінальний часовий ряд також є стаціонарним гауссівським лінійним процесом, і перевіряється шляхом паралельної обробки обидвох рядів. Якщо результати обробки співпадають, то приймається нульова гіпотеза, у протилежному випадку вона відхиляється. У праці Томаса Шрейбера та Андреаса Шмітза названо наступні методи, що можуть бути використані для оцінки оригінального та сурогатного часового ряду на нелінійність: кореляційна розмірність, BDS-статистика, лінійна автоковаріація, третій момент та помилка нелінійного прогнозування. Необхідність застосування сурогатних даних для ідентифікації нелінійності пояснюють неможливістю застосування кількісних оцінок нелінійності.

Для аналізу спрогнозовано значення оригінального та сурогатного ряду на три кроки вперед як просте середнє можливих „майбутніх” сусідніх значень ряду, тобто отримано простий нелінійний прогноз та помилку нелінійного прогнозу.