24.Окружность.

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, удаленных от данной точки, называемой центром окружности, на одно и то же положительное расстояние.

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр – хорда, проходящая через центр.

Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие точки.

Центральный угол – угол с вершиной в центре окружности, сторонами которого являются радиусы.

Вписанный угол – угол с вершиной на окружности, сторонами которого являются хорды.

Касательная к окружности: прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности.

- касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

- если прямая m, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то прямая m — касательная

к окружности.

Теоремы, относящиеся к окружности:

- радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной;

- диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам;

- диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде;

- серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности;

- равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния;

- хорды окружности, удаленные от центра на равные расстояния, равны;

- окружность симметрична относительно любого своего диаметра;

- дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны;

- из двух хорд больше та, которая менее удалена от центра;

- диаметр есть наибольшая хорда окружности;

- касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны;

- если из одной точки провести к окружности касательную и секущую, то квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на ее внешнюю часть;

- произведение всей секущей на ее внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно.

- отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окружностям радиусов r и R равен отрезку общей внутренней касательной, заключенному между общими внешними. Оба эти отрезка равны 2πRr.

- Даны окружности радиусов r и R (R > r). Расстояние между их центрами равно a (a>R +r). Тогда отрезки общих внешних и общих внутренних касательных, заключенные между точками касания, равны соответственно и

Углы в окружности.

- центральный угол измеряется градусной мерой дуги, на которую он опирается;

- вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается;

- вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

- вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90˚.

- угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.

- угол между двумя секущими равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.

- угол с вершиной на окружности, образованный касательной и хордой измеряется половиной дуги, заключенной между ними.

Касающиеся окружности.

Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку (точка касания).

1) Точка касания двух окружностей лежит на их линии центров.

2) Окружности радиусов r и R с центрами и касаются внешним образом тогда и только тогда, когда R +r = .

3) Окружности радиусов r и R (r < R) с центрами и касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда R −r = .

4) Окружности с центрами и касаются внешним образом в точке K. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках A и B и пересекается с общей касательной, проходящей через точку K, в точке C. Тогда

< AKB = 90˚ и < C = 90˚.

Замечательное свойство окружности.

- Геометрическое место точек M, из которых отрезок AB виден под прямым углом (AMB =90˚), есть окружность с диаметром AB без точек A и B.

- Геометрическое место точек M, из которых отрезок AB виден под острым углом (AMB <90˚) есть внешность круга с диаметром AB без точек прямой AB.

- Геометрическое место точек M, из которых отрезок AB виден под тупым углом (AMB >90˚), есть внутренность круга с диаметром AB без точек отрезка AB.