5 Усталена фільтрація нестисливої рідини за нелінійним законом і в неоднорідних пластах

5.1 Усталена фільтрація нестисливої рідини за нелінійним законом до свердловини

Нелінійний закон фільтрації виражається степеневою та двочленною формулами.

Степенева формула стосовно до плоско-радіального потоку записується так (див. гл.1):

, (5.1)

а з іншого боку маємо швидкість фільтрації:

. (5.2)

Прирівнюючи формули (5.1) та (5.2), розділяючи змінні й інтегруючи, дістаємо рівняння розподілу тиску:

(5.3)

Оскільки тиск p = p_с для радіуса r = r_с, то з (5.3) маємо степеневу формулу дебіту свердловини в разі порушення закону Дарсі:

(5.4)

або

, (5.5)

де K_п – коефіцієнт пропорціональності (не коефіцієнт продуктивності), величині).

У цьому випадку індикаторна діаграма представлена параболою n -го порядку (рис. 5.1). Оскільки то маємо як граничні часткові випадки: для n = 1 – лінійну залежність (справедливий закон Дарсі) і для n = 0,5 – квадратичну параболу (справедливий закон Краснопольського).

Тут ми припустили, що закон Дарсі порушується в усьому пласті. Проаналізуємо особливості фільтрації рідини до свердловини. Якщо закон Дарсі справедливий, то згідно з (4.33) швидкість фільтрації

. (5.6)

Звідси можна зробити такі висновки:

1. з наближенням до свердловини (r > r_с) швидкість фільтрації зростає (гіперболічна залежність від радіуса r);

2. швидкість фільтрації прямо пропорційно зростає із збільшенням перепаду тиску p;

3. за відповідної значини депресії тиску p з наближнням до свердловини (радіус зменшується) швидкість може сягати критичної значини , тобто в пласті появиться зона порушення закону Дарсі;

4. за подальшого збільшення депресії тиску p зона порушення закону Дарсі розширюється;

5. за великих значин перепаду тиску p закон Дарсі може порушуватись в усьому пласті.

Точно говорити про одночасне існування в пласті двох певних законів фільтрації не можна. Можна говорити про постійне збільшення відхилення фільтрації від закону Дарсі (показник n залежить від швидкості , а швидкість обернено пропорційно залeжить від радіуса r). Такому плавному порушенню закону Дарсі найкраще відповідає двочленна формула нелінійного закону:

, (5.7)

де .

Розв’язуючи рівняння (5.7), маємо рівняння розподілу тиску в разі порушення закону Дарсі:

(5.8)

і (за r = r_c, p = p_c) двочленну формулу припливу рідини у свердловину

(5.9)

або

, (5.10)

де A, B – коефіцієнти фільтраційного опору, причому коефіцієнт A враховує сили в’язкого тертя і геометрію потоку, а коефіцієнт B – інерційні сили і також геометрію потоку.

Зіставивши рівняння (4.36) і (5.8), дійдемо висновку, що у випадку фільтрації за нелінійним законом лійка депресії тиску крутіша (п’єзометрична лінія на графіку розміщується вище), ніж у разі фільтрації за законом Дарсі.

Індикаторна лінія в цьому випадку представлена параболою (рис. 5.3,а). Коефіцієнти A і B звичайно визначають за результатами дослідження свeрдловини, записуючи (5.10) за Мінським у вигляді:

. (5.11)

Тоді із графіка в координатах і Q знаходять коефіцієнт A як відрізок на осі ординат і коефіцієнт B або як тангенс кута  нахилу прямої лінії до осі (рис. 5.3, б), або з використанням методу найменших квадратів, або в машинній програмі системи MathCAD з використанням оператора лінійної регресії. Знаючи коефіцієнти А і В, визначають коефіцієнт гідропровідності пласта

(5.12)

чи коефіцієнт проникності пласта

(5.13)

та коефіцієнт макрошорсткості

. (5.14)

Одержані у підрозд. 5.1, як і в (4.2), формули справедливі й для випадку нагнітання рідини в пласт (нагнітальна свердловина), при цьому p_c > p_к і у формули замість різниці тисків (p_к - p_c) треба підставити різницю тисків (p_c - p_к), тобто замість депресії тиску треба підставити репресію тиску.