3 Диференціальні рівняння ізотермічної фільтрації флюїдів у пористому середовищі

3.1 Виведення рівняння нерозривності фільтраційного потоку

Рівняння нерозривності (неперервності, суцільності) фільтраційного потоку являє собою рівняння балансу (порівнювального підсумку) маси флюїду в елементарному об’ємі пористого средовища. Під елементарним об’ємом

, (3.1)

об’єм порового простору в ньому

, (3.2)

де m – кофіцієнт пористості, який у загальному випадку розглядається як змінна величина, що залежить від просторових координат x, y, z і від тиску p, тобто m = m (x, y, z, р).

Знайдемо зміну маси рідини всередині паралелепіпеда за проміжок часу dt, здійснюючи розрахунок двома різними методами.

Рис.3.1. Елементарний об’єм пористого середовища

З одного боку, маса рідини в порах

, (3.3)

звідки, диференціюючи вираз (3.3), можна знайти зміну маси M за проміжок часу dt:

, (3.4)

За проміжок часу dt через площу цієї грані (dy dz) протікає маса

. (3.5)

Через протилежну грань abcd, що віддалена від першої на відстані dx, витікає за такий же час маса

, (3.6)

де – зміна масової швидкості фільтрації на відстані dx.

Нагромаджена в паралелепіпеді за час dt маса складає різницю між масою, що вливається, і масою, що витікає:

,

або з урахуванням виразу (3.1)

. (3.7)

Аналогічні вирази для нагромадженої маси в порах за час dt дістанемо і в разі фільтрації вздовж осей y і z:

, (3.8)

де v_у, v_z – проекції вектора масової швидкості фільтрації на осі y і z.

Загальну зміну маси dM рідини (або нагромадження маси в паралелепіпеді) за час dt вздовж усіх осей одержуємо додаванням виразів (3.7) і (3.8):

. (3.9)

Прирівнюючи знайдені зміни маси за двома незалежними методами, дістаємо рівняння нерозривності фільтраційного потоку в координатній формі:

(3.10)

або у векторній формі

, (3.11)

де – дівергенція (від лат. divergentia - розходження),

Тоді прирівнюючи усі зміни маси рідини, аналогічно рівнянню (3.11) отримуємо рівняння збереження маси:

(3.12)

Якщо розподілені джерела відсутні, то задаємо λ = 0, причому λ може бути додатньою (продукується рідина) і від’ємною величиною (поглинається рідина).

Якщо процес фільтрації не змінюється з часом (стаціонарний потік, усталений потік), то похідна по t дорівнює нулю і маємо у випадку усталеної фільтрації рівняння нерозривності фільтраційного потоку для стисливих флюїдів (ρ ≠ const):

(3.13)

або для нестисливих флюїдів (= const)

. (3.14)

3.2 Диференціальні рівняння руху

Диференціальні рівняння руху можна записати стосовно до лінійного чи нелінійного законів. Обмежимося поки лінійним законом Дарсі.

Швидкість фільтрації – векторна величина. Якщо позначити через одиничні вектори вздовж осей просторових координат, то вектор швидкості фільтрації можна записати:

, (3.15)

де v_x, v_y, v_z – проекції вектора на координатні осі (скалярні величини).

Тоді в рівнянні закону Дарсі (1.17)

(3.16)

величина являє собою градієнт тиску, тобто вектор зі складовими

, (3.17)

а отже,

. (3.18)

Проектуючи швидкість фільтрації на координатні осі, замість одного рівняння руху (3.18) у векторній формі дістанемо три рівняння руху в проекціях на координатні осі (в координатній формі):

. (3.19)

Нагадаємо, що під величиною p ми домовились розуміти не просто тиск, а зведений тиск.

Формули (3.18) і (3.19) дійсні тільки для ізотропного середовища (з однаковими фізичними властивостями в усіх напрямах). Якщо коефіцієнт проникності залежить від напряму потоку, то такі пористі середовища називають анізотропними, причому це зумовлено структурою порового простору. Для анізотропного середовища лінійний закон фільтрації має складніший вигляд, ніж формула (3.18), оскільки вектори швидкості фільтрації і градієнта тиску не збігаються за напрямом (див. гл. 7). Для ізотропного неоднорідного пласта можна приймати k = k (y, x, z).