1. Основні поняття і закони теорії фільтрації

1.1 Основні поняття

Пористим і тріщинуватим називають тверде тіло, що має у своїй структурі багато дрібних порожнин – пор між його частинками або тріщин (щілин).

Коефіцієнт пористості (або часто кажуть просто пористість) – це відношення об’єму пор V_п у деякому елементі пористого середовища (зразок, керн) до всього об’єму V даного елемента:

. (1.1)

Пористість визначає величину запасів нафти (газу) в пласті.

Іноді пористе середовище характеризують просвітністю (поверхневою пористістю), що вимірюється коефіцієнтом просвітності, який є відношенням площі просвітів (проходів) F_п у деякому перерізі пористого середовища до усієї площі F цього перерізу (до площі фільтрації):

. (1.2)

Можна показати, що середній коефіцієнт просвітності для деякого об’єму пласта довжиною L не залежить від вибору напряму перерізу й дорівнює коефіцієнту пористості, тобто m_пр = m, так як . Пористе середовище вважають недеформівним, якщо об’єм пор під дією внутрішньопорового тиску не змінюється або його зміною можна нехтувати через малу величину, в іншому разі – пружним (у випадку залягання порід на глибинах понад 4000 м і аномально високих пластових тисків можуть мати місце і пластичні чи в’язкопружні деформації).

Середній діаметр пор у продуктивному пласті становить 10-60 мкм. Вважається, що нафта рухається в порах, діаметр яких не менший 1 мкм. У 1 м³ нафтогазовмісної породи сумарна площа поверхні сипких піщинок або порових каналів складає 10⁴ -10⁵ м² (питома поверхня породиТому вводять поняття середньої дійсної (фізичної) швидкості w і швидкості фільтрації v, тобто

; (1.3)

, (1.4)

де Q – об’ємна витрата рідини. Оскільки F_п=m_прF, а m_пр = m, то маємо зв’язок цих швидкостей

. (1.5)

Так як m < 1, то w > v. Поняття швидкості фільтрації не відображає реального потоку в окремих порах, а тому швидкість фільтрації є фіктивною величиною. Але характеризуючи потік швидкістю фільтрації, дістаємо уявлення про потік у цілому як про суцільне середовище. середню дійсну швидкість окремої частинки рідини (газу), що необхідно, наприклад, для розв’язування задач про переміщення границі поділу рідин і газів, якій може належати ця час-тинка.

1.2 Основний закон фільтрації – закон Дарсі

1856 року французький інженер Анрі Дарсі опублікував результати дослідів з фільтрації води в піску (рис.1.1). Він експериментально встановив основний закон фільтрації, відомий сьогодні під назвою закону Дарсі, або лінійного закону фільтрації: об’ємна витрата рідини через породу прямо пропорційна втраті напору H на довжині l і площі фільтрації F, тобто

(1.6)

де k_ф – коефіцієнт фільтрації.

Рис. 1.1 – Схема устатковання Дарсі

Оскільки (гідравлічний похил), то рывняння (1.6) можна записати так:

, (1.7)

тобто коефіцієнт фільтрації має розмірність швидкості ([k_ф]=[v]).

Як відомо, напір для нестисливої рідини

, (1.8)

або, нехтуючи швидкісним напором (швидкості руху рідини сягають 10^-5 - 10^-4 м/с),

, (1.9)

де z – геометрична висота положення розглядуваної точки; – п’єзометрична висота; p – тиск;  – густина рідини; g – прискорення вільного падіння; – швидкісний напір.

Від напору завжди можна перейти до тиску:

(1.10)

де p* – зведений тиск, тобто зведений до певної геометричної відмітки. Надалі під тиском розумітимемо зведений тиск, опускаючи для простоти запису зірочку. Тоді закон Дарсі набере вигляду:

, (1.11)

або в символах диференціального числення (за граничного переходу

, (1.12)

де – – градієнт тиску (–grad p). Знак “–” вказує на те, що прирости тиску p та довжини l протилежні (із збільшенням довжини Δl тиск p зменшується), причому напрями швидкості v і падіння тиску p збігаються.

Із рівняння (1.12) випливає, що швидкість фільтрації v лінійно залежить від градієнта тиску grad p, тобто закон Дарсі є лінійним законом фільтрації.

Оскільки закон Дарсі встановлений експериментально, то багато вчених намагалися обгрунтувати його теоретично, беручи різні моделі пористого середовища, зокрема грунти ідеальний (набір паралельних капілярних трубок) і фіктивний (насипний об’єм однорозмірних сферичних кульок). Узагальнюючи вирази різних теоретичних формул Сліхтера, Козені, Терцагі та інших Л.С. Лейбензон вивів рівняння:

, (1.13)

де d_еф - ефективний діаметр частинок (діаметр частинок еквівалентного фіктивного грунту, гідравлічний опір якого дорівнює гідравлічному опору реальної породи); Sl (m, ε) – число Сліхтера (безрозмірне), назване так Л.С. Лейбензоном, як функція коефіцієнта пористості m і структури порового простору ε (під структурою порового простору розуміють форму й розмір окремих пор, їх кількісне співвідношення і сполучуваність), причому в різних авторів залежно від взятої моделі для нього одержано різні вирази; μ – динамічний коефіцієнт в’язкості рідини (часто кажуть просто динамічна в’язкість).

(1.16)

або

, (1.17)

а зв’язок між коефіцієнтом фільтрації k_ф і проникності k:

. (1.18)

Проникність – це здатність породи пропускати крізь себе рідину чи газ під дією перепаду тиску. Вона характеризується коефіцієнтом проникності k (часто кажуть просто проникність). Проте формула (1.15) для визначення k є символічною. Цей коефіцієнт визначають експериментально, з допомогою спеціального приладу – пермеаметра, що містить взірець породи, виходячи із закону Дарсі:

, (1.19)

тобто

(1.20)

або шляхом промислового гідрогазодинамічного дослідження свердловин (див. дальше).