Контрольные вопросы

1. Понятие дисперсии.

2. Укажите, в чем заключается цель дисперсионного анализа.

2. Укажите назначение однофакторного дисперсионного анализ?

3. Дайте определение понятиям: групповая дисперсия, внутригрупповая дисперсия, межгрупповая дисперсия и общая дисперсия.

4. Что такое нулевая гипотеза и как она связана с критерием Фишера?

Практическое задание № 3

ИНСТРУМЕНТ «ДВУХФАКТОРНЫЙ

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ»

Цель: закрепить знания о понятии «дисперсный анализ»; изучить процедуру расчетов (проверку гипотезы) с помощью двухфакторного дисперсионного анализа без повторения и двухфакторного дисперсионного анализа с повторениями; научиться применять их на практике.

Теоретические сведения

Технология вычисления дисперсий группированных данных, примененная при решении задачи однофакторного дисперсионного анализа, может быть использована и для анализа более сложных производственных ситуаций.

Пусть на двух различных технологических установках производится выпуск одинаковых изделий. Половину периода выпуска предприятие получает некоторый исходный материал для производства изделий от одного поставщика, а другую половину – от другого. Необходимо установить значимость различия средних значений параметра качества изделий как между установками, так и между поставщиками при условии, что известные или неизвестные дисперсии параметра качества по отдельным изделиям одинаковы. Речь в данном случае идет о двухфакторном дисперсионном анализе.

Двухфакторный дисперсионный анализ без повторения представляет собой двухфакторный анализ дисперсии, не включающий более одной выборки на группу. Используется для проверки гипотезы о том, что средние значения двух или нескольких выборок одинаковы (выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности).

Если на результативный признак одновременно влияет два фактора — А и В, следует использовать метод двухфакторного анализа. Дисперсионный анализ в этом случае имеет свои особенности, так как необходимо учитывать еще и взаимодействие между факторами.

Рассмотрим матрицу наблюдений двухфакторного анализа на примере. Пусть главным фактором будет А (например, влияние на результат способа обработки сырья), а дополнительным — фактор В (например, влияние на результат качества сырья). Предположим, что фактор А принимает К, а фактор В — m различных значений, т.е. К — число типов обрабатывающих станков, а т — число партий сырья (табл. 1).

Уровни фактора А (способы обработки) отображаются в таблице по столбцам, а уровни фактора В (партии сырья) — по строкам, образуя блоки.

В каждом блоке отклики могут значительно различаться только за счет различных уровней фактора А, т.е. за счет различных типов обработки. В отличие от матрицы однофакторного анализа, наблюдения в любом столбце не являются однородными, т.е. не образуют выборки, если влияние мешающего фактора значимо.

Таблица 1

Матрица наблюдений двухфакторного анализа

Способы обработки
Партия сырья	А11	А2	…	Аk
В1	Y11	Y12	…	Y1k
В2	Y2	Y22	…	Y2k
…	…	…	…	…
Вm	Ym	Ym2	…	Ymk

Как и в случае однофакторного анализа, нулевая гипотеза об отсутствии эффектов обработки имеет вид

, а нулевая гипотеза об отсутствии эффектов блоков — .

Величины называются эффектами блоков, они характеризуют отклонения от в результате действия фактора В. Величины называются эффектами обработки, они характеризуют отклонения отклика из-за действия фактора А.

Проверять эту гипотезу, так же, как и в задаче однофакторного дисперсионного анализа, можно только при соблюдении следующих требований:

• при различных сочетаниях уровней факторов А и В наблюдения независимы;

• при каждом сочетании уровней факторов А и В результативный признак имеет нормальный закон распределения с постоянной для различных сочетаний генеральной дисперсией.

Вклады факторов А и В в значения отклика на соответствующих уровнях j и i обозначим через и . Величины вкладов и не могут быть восстановлены однозначно. Так, увеличение всех и уменьшение всех одновременно на одну и ту же константу не изменят значения . Между факторами нет взаимодействия. Таким образом, каждое наблюдение представляется в виде следующей аддитивной модели:

(1.1),

где i = 1, ..., т, a j = 1, ..., К. Предполагается, что для случайных величин справедливо требование , причем дисперсия одинакова при всех значениях i и j.

Для однозначного определения вкладов факторов следует использовать отклонения , и отклика от в результате действия факторов А и В, где — это общее среднее значений отклика, его оценкой является величина Следовательно,

(1.2).

Общая сумма квадратов Q разбивается уже не на две, а на три части: Q_A и Q_B, обусловленные влиянием факторов, и остаточную часть Q_общ , обусловленную случайной изменчивостью самих наблюдений за счет неучтенных факторов: (1.3) или

(1.4)

где — среднее по j-му столбцу; — оценка эффекта обработки ; — среднее по i-му блоку; — оценка эффекта блока . В целом, базовая таблица имеет следующий вид.

При выполнении гипотезы об отсутствии эффектов обработки статистики и являются несмещенными

Таблица 2

Базовая таблица двухфакторного анализа

Источник дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средний квадрат (оценка дисперсии)
Главные эффекты
Фактор А
Фактор В
Остаточное рассеяние
Итого

оценками общей дисперсии . Поэтому для проверки нулевой гипотезы дисперсия по фактору А сравнивается с остаточной дисперсией. С этой целью вычисляется F-отношение , имеющее F-распределение c степенями свободы. Чем больше различие между эффектами обработки тем большую тенденцию к возрастанию проявляет F-статистика. На уровне значимости гипотеза отвергается, если где — критическое значение, или если вычисленный уровень значимости для статистики Фишера а_выч < а. В этом случае влияние фактора А на отклик значимо.

Аналогично по F-отношению проверяется гипотеза об отсутствии влияния фактора В.

По F-отношению проверяется значимость двухфакторной модели с независимым действием факторов.

Microsoft Excel располагает инструментами «Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений» и «Двухфакторный анализ с повторением».

Инструмент «Двухфакторный анализ без повторения» используется для выявления факта влияния контролируемых факторов А и В на результативный признак на основе выборочных данных, причем каждому уровню факторов А и В соответствует только одна выборка.

Инструмент «Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями» используется для выявления факта влияния контролируемых факторов А и В на результативный признак на основе выборочных данных, однако каждому уровню одного из факторов А (или В) соответствует более чем одна выборка данных.

Для вызова этих инструментов необходимо выполнить команду Данные→ Анализ→ Анализ данных и в открывшемся диалоговом окне Анализ данных выбрать необходимый инструмент (Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений или Двухфакторный анализ с повторением).

Рассмотрим применение инструмента «Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений» на примере.

Упражнение 1

На рис. 7 представлены данные об урожайности (ц/га) четырех сортов пшеницы (четыре уровня фактора А), достигнутой при использовании пяти типов удобрений (пять уровней фактора В). Данные получены на 20 участках одинакового размера и аналогичного почвенного покрова. Определить, влияет ли сорт и тип удобрения на урожайность пшеницы.

Р ис. 7. Данные для использования инструмента «Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений»

Последовательность действий:

1. Открыть файл Анализ-ФинА-Иванов.xlsх. Добавить новый лист и переименовать его, задав имя Дисперсия_2. Разместить на листе Дисперсия_2 данные рис. 7.

2. Вызвать диалоговое окно Анализ данных. Выбрать инструмент анализа — Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений.

3. В открывшемся диалоговом окне Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений (рис. 8) ввести информацию для проведения анализа, а именно установить следующие параметры:

• щелкнуть в поле Входной интервал и ввести диапазон ячеек, содержащий анализируемые данные;

• флажок опции Метки устанавливается в том случае, если первая строка во входном диапазоне содержит заголовки столбцов. Если заголовки отсутствуют, флажок следует сбросить;

• оставить в поле Альфа значение 0,05 (установленное по умолчанию), или изменить его на другое значение в диапазоне от 0 до 1;

• определиться параметры вывода — Новый рабочий лист, дав ему имя Итог 4.

Р ис. 8. Окно инструмента

Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений.

Результаты анализа представлены на рис. 9.

Как видно по результатам, расчетное значение величины F для фактора А (тип удобрения) , а критическая область образуется правосторонним интервалом (3,49; +∞). Так как не попадает в критическую область, гипотезу принимаем (считаем, что в этом эксперименте тип удобрения не оказал влияния на урожайность).

Расчетное значение величины F для фактора В (сорт пшеницы) , а критическая область образуется правосторонним интервалом (3,259; +∞).

Так как не попадает в критическую область, следовательно гипотезу также принимаем (считаем, что в данном эксперименте сорт пшеницы также не оказал влияния на урожайность). Следовательно, выбранные в анализе факторы не оказывают существенного влияния на урожайность, или выбранный объем совокупности недостаточен для проявления зависимостей.

Р ис. 9. Результаты двухфакторного дисперсионного анализа данных без повторений.

Рассмотрим как работает инструмент «Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями». Выше было отмечено, что он используется для выявления факта влияния контролируемых факторов А и В на результативный признак на основе выборочных данных, однако каждому уровню одного из факторов А (или В) соответствует более одной выборки данных.

Упражнение 2

Исследуйте влияние артикула материала, из которого изготавливалась партия товара (фактор А), и фасона изделия (фактор В) на сбыт продукции с целью определения вкусов покупателей в трех магазинах. Выручка в тыс. грн. при реализации продукции приведена на рис. 10

Рис. 10. Данные для использования инструмента Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями

Последовательность действий:

1. Открыть файл Анализ-ФинА-Иванов.xls. Добавить новый лист и переименовать его в Дисперсия_3. Разместить на листе Дисперсия_3 данные из рис. 10.

2. Открыть диалоговое окно Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями (рис. 11) и задать в нем следующие параметры:

• в поле Входной интервал ввести диапазон ячеек, содержащий анализируемые данные;

• в поле Число строк для выборки вводится 3 (по числу выборок, которое приходится на каждый уровень одного из факторов);

• оставить в поле Альфа значение 0,05 (установленное по умолчанию) или изменить его на другое значение в диапазоне от 0 до 1;

• определить параметры вывода — Новый рабочий лист, дав ему имя Итог 5.

3. Нажать на кнопку ОК.

Р ис. 11. Окно инструмента

Двухфакторный анализ с повторением.

Результаты двухфакторного дисперсионного анализа с помощью инструмента «Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями» представлены на рис. 12.

Как видим, расчетное значение F фактора А (артикул) , а критическая область образуется правосторонним интервалом (3,01; +∞). Так как попадает в критическую область, гипотезу не принимаем, т.е. считаем, что артикул влияет на размер выручки.

Расчетное значение F фактора В (фасон) , а критическая область образуется правосторонним интервалом (3,40; +∞). Так как попадает в критическую область, гипотезу Н_в: b₁ = b ₂ = ...= b _т не принимаем, т.е. считаем, что фасон также влияет на размер выручки. Таким образом, выбранные факторы влияют на объем продаж и следует их принимать во внимание при планировании структуры закупок.

Р ис. 12 Результаты двухфакторного дисперсионного анализа с повторениями

Индивидуальные задания

Задача № 3. (Приложение Б).

Задача № 3. (Приложение В).