5.3. Применение трендового анализа

Общие сведения

Тренд (от англ. Trend — тенденция, произносится «трэнд») — основная тенденция изменения временного ряда

Трендовый анализ – cбор и обработка данных за различные периоды времени и сравнение каждой позиции отчетности с рядом предшествующих периодов c целью определения тренда, т.е. основной тенденции динамики показателя, очищенной от случайных влияний и индивидуальных особенностей отдельных периодов.

Не существует "автоматического" способа обнаружения тренда во временном ряду. Однако если тренд является монотонным (устойчиво возрастает или убывает), то анализировать такой ряд обычно нетрудно. Если временные ряды содержат значительную ошибку, то первым шагом выделения тренда является сглаживание.

Сглаживание всегда включает некоторый способ локального усреднения данных, при котором несистематические компоненты взаимно погашают друг друга. Самый общий метод сглаживания — скользящее среднее. Также для выделения тренда широко используется метод экспоненциального сглаживания.

Многие монотонные временные ряды можно хорошо описать линейной функцией. Если же имеется явная монотонная нелинейная компонента, то данные вначале следует преобразовать таким образом, чтобы устранить эту нелинейность. Чаще всего для этой цели используют логарифмическое, экспоненциальное или (не так часто) полиномиальное преобразование данных.

Относительно реже, когда ошибка измерения очень большая, используется метод сглаживания методом наименьших квадратов, взвешенных относительно расстояния или метод отрицательного экспоненциально взвешенного сглаживания.

Все эти методы отфильтровывают шум и преобразуют данные в относительно гладкую кривую.

Описание тренда

Тренды могут быть описаны различными уравнениями — линейными, логарифмическими, степенными, экспоненциальными, параболическими, гиперболическими, полиномиальными, логистическими и т. д. Уравнение должно наилучшим образом аппроксимировать (приближать) истинную тенденцию временного ряда.

Чаще всего используется линейный тренд. В этом случае модель тренда легко построить, используя для расчета параметров прямой, метод линейной регрессии. Полученная таким образом модель может быть использована для прогнозирования будущих значений тренда. В действительности тренд в чистом виде либо не существует, например, при колебании значений спроса вокруг некоторой фиксированной величины, либо в большинстве случаев он является нелинейным. Например, тренд значений спроса зависит от стадий жизненного цикла продукта. Как правило, новым видам продукции соответствует возрастающий тренд (рис. 23), тогда как устаревшим продуктам на заключительной стадии их жизненного цикла — убывающий (рис. 24).

Для графического отображения уравнения, с помощью которого описан тренд, используются линии тренда (трендовые линии). Они являются важным элементом анализа и прогнозирования. Подобный анализ называется трендовый анализ, или регрессионный анализ.

Объем продаж		Объем продаж
Время		Время
Рис. 23		Рис. 24

Выбор уравнения для описания тренда (построения линии тренда) обычно определяется характером изменения данных во времени. http://ru.wikipedia.org/wiki/Линии_тренда

Линейная форма тренда описывается уравнением: и линия тренда в этом случае — прямая, которая образует с положительно направленной осью абсцисс (ось х, горизонтальная ось) угол, тангенс которого равен m, и отсекает на оси ординат (ось у, вертикальная ось) отрезок, длина которого равна b. Величина m называется угловым коэффициентом, или коэффициентом наклона.

Коэффициент наклона m представляет собой меру наклона линии тренда: чем больше число, определяющее этот коэффициент, тем круче линия тренда. Коэффициент наклона может быть отрицательным числом, если связь между переменными обратно пропорциональна, в этом случае линия тренда будет идти из верхнего левого угла графика в нижний правый. Значение величина b указывает, какое значение будет иметь у, если х=0.

В приведенном ниже примере линия тренда отображает равномерное увеличение объема продаж холодильников в течение 13 лет. Следует заметить, что значение R-квадрат в данном случае составляет 0,9036. Это свидетельствует о достаточно хорошем согласовании линии аппроксимации с фактическими данными.

Логарифмическая форма тренда описывается уравнением , где c и b — константы, ln — функция натурального логарифма. Данная аппроксимация хорошо описывает величину, которая вначале быстро растет или убывает, а затем постепенно стабилизируется.

Приведенный ниже пример использует логарифмическое приближение для иллюстрации прогнозируемого роста популяции животных на ограниченной территории. По мере того, как свободного пространства становится все меньше, темпы роста популяции снижаются. Следует заметить, что значение R-квадрат в данном примере равно 0,9407; это указывает на то, что аппроксимирующая кривая описывает данные с достаточно высокой степенью достоверности.

Полиномиальная аппроксимация используется для описания величин, попеременно возрастающих и убывающих. Она полезна, например, для анализа большого набора данных о нестабильной величине. Степень полинома определяется количеством экстремумов (максимумов и минимумов) кривой. Полином второй степени может описать только один максимум или минимум. Полином третьей степени имеет один или два экстремума. Полином четвертой степени может иметь не более трех экстремумов: , где b и — константы.

Ниже на примере аппроксимации полиномом второго порядка (одна вершина) показана зависимость скорости от потребления топлива. Следует заметить, что значение R-квадрат в данном случае составляет 0,9474. Это достаточно хорошо согласуется с фактическими данными.

Степенное приближение дает хорошие результаты, если зависимость, которая содержится в данных, характеризуется постоянной скоростью роста. Примером такой зависимости может служить график ускорения автомобиля. Если в данных имеются нулевые или отрицательные значения, использование степенного приближения невозможно: , где c и b — константы.

Ниже показан пример зависимости пройденного расстояния от времени (в секундах). По степенной линии тренда ясно видно увеличение ускорения. Обратите внимание, что значение R-квадрат в данном примере равно 0,9923. Это говорит о высокой точности используемого приближения.

Э кспоненциальное приближение следует использовать в том случае, если скорость изменения данных непрерывно возрастает. Однако для данных, которые содержат нулевые или отрицательные значения, этот вид приближения неприменим: , где c и b — константы, e — основание натурального логарифма.

В приведенном ниже примере экспоненциальное приближение иллюстрирует процесс распада углерода 14. Следует заметить, что значение R-квадрат здесь равно 1, то есть линия приближения идеально соответствует данным.