3 Експериментально – статистичні моделі та методи.

3.1 Побудова та дослідження експериментально-статистичних моделей.

Х_і – реалізація випадкової величини Х і наз. Результати спостережень, і = t, z, …,n, n – загальна кількість дослідів.

Варіаційний ряд – результати спостережень мають певний порядок, наприклад, в порядку зростання, групуються по інтервалам і т.д. n < 100 .

Статистичний ряд – (n < 100 ) будується наступним чином:

1. фіксується найбільше X max та найменше X min значення реалізації Х_і випадкової величини Х.

2. Діапазон зміни Х тобто X max – X min, ділиться на L інтервалів де і = 1, 2, ... L – номер інтервалу, Х_і , Х_{і +1} – початок і кінець і-го інтервалу, X min = X₁, X max = Xℓ₊₁

3. Розраховуються частоти попадання Х_і в j–й інтервал: , де n – число значень Х_{і ,} потрапили в і – й інтервал.

4. Будується ряд : Інтервал частоти одні і ті ж вихідні дані можна згрупувати в різні статистичні ряди.

Гістограма – графічне зображення статистичного ряду:

1. На осі абсцис діапазон змінних Х ділиться на інтервали групування ;

2. На кожному інтервалі будується прямокутник з площею , тобто ділиться на довжину інтервалу і одержуємо висоту прямокутника . При збільшені кількості реалізацій ; зменшується, гістограма наближається до неперервної лінії, яка являється густиною розподілу Х. Якщо середини інтегралів ; з’єднати ламаною лінією, то одержимо полігон частот.

f ^* Рj^*

f ^*_j

X

0 X min = X₁ X _j X _{j + 1} X max = Xℓ +1

Рис. 9 Гістограма та полігон частот.

Якщо число інтервалів дуже велике, то в гістограмі виявляються незакономірні, випадкові коливання; якщо число інтервалів надто мале, то властивості розподілу описуються грубо. На практиці діє правило: (X max – X min) ділять на ℓ ≥ 7 так, щоб в кожний інтервал попало не лише 3-4 результатів скорочень Х.

1. Статистична функція розподілу випадкової величини – залежність статистичної частоти події від біжучого значення цієї величини Х :

Побудова F^* по варіаційному ряду:

Х < X₁

X_i < X < X_i+1, i = 1, 2, …, n

1, X ≥ X _n полігон накоплених частот.

Побудова F^* (X) по статистичному ряду:

(22)

1. Над кожним відрізком інтервалу проводимо горизонтальну лінію. На рівні ординати, тобто значення накопленої частоти з (22)

2. Кінці горизонтальних відрізків з’єднують з віссю абсцис і кінці відрізків з’єднуємо між собою ламаною лінією або плавною кривою.

F ^*

Рис. 10 Полігон накоплених

1 частот.

Після того, як для параметра

конструкції

F^*

X min = X₁ X; ( ) X_j+1 X max = Xℓ₊₁

Після того як для параметра конструкції РЕЗ або технологічного процесу одержано статистичний розподіл потрібно вибрати теоретичний вид статистичного розподілу та визначити числові значення параметрів цього розподілу.

Статистичні значення:

- математичне сподівання. – (23)

- середнє квадратичне відхилення. – (24)

- початковий момент S-го порядку.

- центральний момент S – го порядку .

Квантіль Кр порядку р велечини Х – корінь р-ня F(K p)= p.

К_0,5 – медіана, К_0,25 К_0,75 – нижній та верхній квантіль; К_0,1; К_0,2; ... К_0,9 – децілі.

Розглянемо несиметричний закон розподілу густини ймовірності параметру q_k.

m (q_k.) – математичне сподівання,

q_к ^ном – з нормат.-техн. Документації,

q^о _k. – розрахункове (після оптимізвції) значення.

F (q_k) Рис. 19 розклад

Параметрів в полі

Допуску.

M(q_k)

d q_k.

q_к ^ном q^о _k. q_к ^ном q^b _k. q_k.

æ^н _qk. (q_k) æ^в _qk. (q_k)

∆ q_к ^н ∆ q_к ^в

∆ q_к ^в = q_к ^в - q_к ^ном ∆ q_к ^н = q_к ^ном - q_к ^н – (26)

q_к ^н і q_к ^в – граничні значення параметрів оскільки ∆ q_к = q_к - q^о_к то

m (∆ q_к) = m (q_к) - q_{к ,} (∆q_k) = (q_k) – (27)

d q_k. = q_к ^ном – оскільки номінальне значення не співпадае з розрахунковим.

Ймовірність.

– (28)

Справедливо також

æ * ; m(qk)-q = æ * – (29)

де æ , æ - коефіцієнт пропорційності, які залежать від

f(qk) та одержимо q_к^н , , і тоді з (26) запишемо: ∆ = æ * + m(qk)-q ;

∆ = æ^н _qk - ₊ q_к ^ном

З врахуванням (27) можна представити:

æ

æ