П риклади обчислення середньої величини.

Приклад 1. Статутний фонд акціонерної компанії, сформований 6 засновниками; розмір внеску кожного із них становить, млн..грн.: 6;10;12;9;7;4. Середній внесок одного засновника обчислюється за формулою середньої арифметичної простої:

=8 млн.грн.

Приклад 2. Квартальний оборот універсальних бірж протягом року становив, млн..грн.:

Ікв. – 372; ІІкв. – 423; ІІІкв. – 340; IVкв. – 455.

Середньоквартальний оборот бірж становить:

Приклад 3. Середній виробіток продукції одним робітником за зміну в двох цехах підприємства, які виробляють однорідну продукцію, характеризуються такими даними:

№ бри-гади	Цех 1		№ бри-гади	Цех 2
	Денна продуктивність праці,шт..	Чисельність робітників		Обсяг виготовленної продукції, шт..	Денна продуктивність праці,шт..
	xi	fi		Wi	xi
1	36	16	4	120	18
2	38	11	5	432	30
3	21	8	6	510	34

Визначити середньоденну продуктивність праці робітників:

а) по першому цеху;

б) по другому цеху.

Зробити висновки.

Розв’язок:

1. Обчислення середньої величини починається із запису логічної формули розрахунку:

Середньоденна продуктивність праці =	Загальний випуск продукції
	Загальна чисельність

2. Дивимось, що нам відомо згідно з умовою задачі, і обираємо формулу середньої величини.

а) По цеху №1 не відомі дані чисельника смислової формули, а знаменника відомі, використовується формула середньої арифметичної зваженої:

= шт.

б) По цеху №2 відомі дані чисельника логічної формули розрахунку і не відомі дані знаменника, тому використовується формула середньої гармонічної зваженої:

= шт.

Висновок: У середньому за зміну по цеху 1 один робітник виготовляє продукції обсягом 33 шт., а по цеху 2 – 30 шт. Таким чином, продуктивність праці робітників цеху1 вища, ніж цеху 2 у середньому на 3 шт. (35 - 30), або на (33/30*100-100)=10%.

Приклад 4. За наведеними даними про продаж картоплі визначити середній процент виконання плану.

Підприєм-ство	Виконання плану продажу картоплі, %	Фактичний продаж картоплі, кг	План продажу картоплі, кг
	xi	Wi	Wi/xi*100
1	125	1250	1000
2	90	1060	1200
3	105	1470	1400
4	115	1725	1500
5	110	1760	1600
6	100	1700	1700
7	100	1800	1800
8	110	2090	1900
9	95	1900	2000
10	105	2100	2000
Разом		16855	16100

x_i – значення варіант

W_i – обсяг явища (W_i = f_{i *} x_i)

– середнє значення ознаки.

Середній процент виконання плану

.

Приклад 5. Є такі дані про товарні запаси на складі (тис.грн.) та їх рух: на 01.01.2011 було запасів на 200 тис.грн; на 01.04.2011 надійшло товарів на 20тис.грн., на 01.07.2011 відвантажено товару на 14 тис.грн.; на 01.10.2011 надійшло на 10 тис.грн. До кінця року руху не спостерігалось.

Визначити середні залишки товарних запасів на складі за 2010 рік.

Розв’язок:

Побудуємо моментний ряд з рівними інтервалами (3 міс.) згідно з умовою задачі:

01.01.2011 – 200 тис.грн.;

01.04.2011 – 220 тис.грн.;

01.07.2011 – 206 тис.грн.;

01.10.2011 – 216 тис.грн.;

01.01.2011 – 216 тис.грн..

Треба використовувати формулу середньої хронологічної :

тис.грн.

Висновок: В середньому щомісячно протягом 2010 року залишки товарних запасів на складі становили 212500 грн.

Приклад 6. (Методика обчислення медіани). Є такі дані про розподіл робітників підприємства за віком:

Умовні дані		Розрахункові дані
Групи робітників за віком, роки	Чисельність робітників	Накопичена частота інтервалу
	ni	Sni
До20	13	13
Ме 20-25	44	57
25-30	19	76
30-40	12	88
40-50	4	92
50 і більше	8	100
У цілому	100	–

Визначити медіану і зробити висновки.

Розв’язок: Медіанним є інтервал 20-25 років, тому що на нього припадає перша накопичена частота, яка перевищує половину всього обсягу сукупності (57 перевищує пі:2 = 100 : 2 = 50 ). Визначимо медіанне значення віку робітників підприємства:

, де

x_Me = 20; h_Me = 5; ∑n_i = 100; S_Me-1 = 13; n_Me= 44.

року.

Висновок: на підприємстві половина робітників молодша 24,2 року, а половина старша.

Приклад 7. (Методика обчислення моди). Є такі дані про розподіл робітників за рівнем заробітної плати.

Групи робітників за рівнем заробітної плати, грн.	Частка робітників, % до загальної чисельності
500-1000	5
1000-1500	13
Мо 1500-2000	32
2000-2500	25
2500-3000	25
3000-3500	10
Разом	100,0

Визначити моду і зробити висновок.

Розв’язок: Інтервал, в якому міститься мода, становить 1500 – 2000 грн., тому що цей інтервал має найбільшу частоту:

, де

x_Mо = 1500; h_Mо = 50; n_Mо= 32; n_Mо-1=13; n_Mо+1=25.

грн..

Висновок: на підприємстві найчастіше зустрічаються робітники із заробітною платою = 186 грн.50 коп.

Задачі для самостійного розв’язування

№1. Відомо, що тарифний розряд робітників бригади, яка складається з восьми чоловік, становить: 3,4,3,5,4,5,4,4. Знайти середній рівень кваліфікації робітників бригади.

№ 2. Відомі такі дані:

Число робітників	Місячна заробітна плата, тис.грн.
5	10,7
11	11,8

Визначте середню місячну заробітну плату робітників.

№ 3. На підставі даних визначити середній розмір посівної площі і середньої урожайності картоплі для групи господарств:

№ господарства	Посівна площа, га	Урожайність, ц/га
1 2 3 4 5	105 160 155 120 110	170 165 180 200 145
Разом		х

№4. Маємо дані про врожайність і валовий збір ячменю за звітний рік. Обчислити

середню врожайність ячменю у цілому.

Номер бригади	Урожайність, ц/га	Валовий збір,ц
1 2 3	22,0 23,0 22,5	5500 6900 7200

№5.По молочнотоварній фермі є дані про добовий надій молока від 200 корів.

Потрібно визначити середній надій молока від корови.

№	Добовий надій молока, кг	Кількість корів, голів
1	8	6
2	9	20
3	10	37
4	11	72
5	12	41
6	13	18
7	14	6
Разом	-	200

№6. Відомі такі дані по трьох магазинах:

№ магазину	Фонд зарплати, тис.грн.	Місячна зарплата, тис.грн.
1 2 3	8000 12000 10050	970 1120 1290

Визначте середню зарплату у трьох магазинах.

№7. Маємо дані про заробітну плату та кількість співробітників кафедри у розрізі (професори, лаборанти) за два періоди.

Посада	Оклад, грн..		Кількість співробітників, чол..
	вересень	жовтень	вересень	жовтень
Професор	500	500	4	1
Лаборант	100	100	1	4
Разом	х	х	5	5

Розрахуйте середню заробітну плату за вересень і жовтень.

№ 8. Є такі дані про чисельність населення міста.

На 01.01.2010 – 100 тис.осіб;

На 01.04.2010 - 103тис.осіб;

На 01.07.2010 – 106 тис.осіб;

На 01.10.2010 – 104 тис.осіб;

На 01.01.2011 – 110 тис.осіб.

Визначити середньорічну чисельність населення міста.

№ 9. Маємо дані про чисельність с/г виробниів на початок місяця: 1.01 – 400, 1.02 – 420, 1.03 – 405, 1.04 – 436, 1.05 – 450, 1.06 – 472, 1.07 – 496, 1.08 – 450, 1.09 – 412, 1.10 – 318, 1.11 – 231, 1.12 – 235, 1.01 – 300. Визначити: а) середньмісячну кількість с/г робітників у І та ІІ півріччях; б) середньорічну кількість;в) змінення чисельності у ІІ півріччі в порівнянні з І.

№ 10. Відомі такі дані про ціну продукції та кількість продавців на ринку:

Ціна продукції, тис грн.	Кількість продавців, осіб
5	1
16	3
20	10
22	6
25	3

Визначте модальну ціну продукції.

№ 11. Є дані про середній надій молока від корови за рік і про валове виробництво молока. Обчислити середній надій молока від корови.

Номер п/п	Середній надій на корову за рік, кг	Валовий надій молока, ц
1	3800	30780
2	3520	33440
3	4500	34200
4	3260	27210
5	3850	25410
6	4100	38540
7	3270	26160
Разом	–

№ 12. Маємо дані про стаж роботи трактористів в одному господарстві області:

Стаж роботи трактористів, років	до 5	5 – 10	10 – 15	15 – 20	20 – 25	вище 25
Кількість трактористів, осіб	6	14	21	23	17	11

Визначити середній стаж роботи трактористів.

№ 13. Виконання плану виробництва продукції характеризується даними на п’яти підприємствах галузі. Визначити середній відсоток виконання плану в цілому на підприємствах. Зробити висновки.

№ підприємства	Вироблено продукції, тис.грн.	Вироблено, % до плану
1	19,1	94,7
2	11,5	101,4
3	25,7	100,2
4	8,3	93,5
5	9,7	102,0

№ 14. Є дані про виробництво та питому вагу бракованих виробів. Знайдіть середній процент браку.

Партія товару	Кількість бракованих виробів, шт.	Питома вага бракованих виробів, %
1	68	3,4
2	35	2,46
3	2	0,49

№ 15. Є дані про обсяги реалізації на двох виробничих об’єднаннях галузі:

Підприємство	Об’єднання № 1		Об’єднання № 2
	План реалізації, тис.грн.	Виконання плану, %	Фактично реалізовано, тис.грн.	Виконання плану, %
1	200	100,0	250	110
2	70	106,0	500	90
3	150	102,0	180	130

Визначте середній відсоток виконання плану реалізації продукції по об’єднаннях № 1 і № 2.

Контрольні запитання і завдання

1. Що таке середня величина?

2. Яке місце належить середнім величинам серед статистичних методів?

3. Які розрізняють види середніх величин?

4. Які умови застосування середніх величин?

5. Коли використовують середню арифметичну?

6. Які розрізняють види середньої арифметичної?

7. Які умови використання середньої гармонійної?

8. Які розрізняють види середньої гармонійної?

9. Назвіть інші види середніх величин.

10. Що таке мода і медіана?

11. Як визначають моду в дискретному та інтервальному рядах?

12. Назвіть особливості визначення медіани в дискретному та інтервальному рядах.