12. Р аспространение тепла на отрезке: метод разделения переменных для уравнения

Рассмотрим задачу

(4)

где функция непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и . Решение, согласно методу Фурье, ищем в виде . Подставив данное произведение в (4), получим . Разделим переменные: Отсюда получаем два уравнения: (5)

(6)

Уравнение (5) Граничная задача отыскания нетривиального решения уравнения

и тех значений параметра , при которых это решение существует, называется задачей Штурма – Лиувилля, числа - собственными числами (собственными значениями), решения – собственными функциями задачи.

Рассмотрим все возможные случаи.

1) , то и из граничных условий следует, что , т.е. .

2) , . . Граничные условия приводят к равенствам .

3) Если , то . Граничные условия дают равенства ; .Так как , то .Следовательно , откуда ( из N). Т.о., ненулевые решения возможны только при . Этим собственным числам отвечают собственные функции Было показано, что только для значений существуют нетривиальные решения удовлет. нулевым гранич. условиям.

Подставив в (6), получим: с произвольными постоянными . Таким образом, все функции удовлетворяют уравнению и граничным условиям задачи (4). Составим ряд

(7)

Используя начальные условия, получим (8)

Если коэффициенты определить равенствами , (9)

то ряд (8) станет рядом Фурье по синусам на промежутке функции . По теореме Дирихле этот ряд равномерно и абсолютно сходится к функции .

Функция , определенная формулами (7) и (9), имеет производные любого порядка по и в области , и, следовательно, является решением задачи (4).

12. Вывод формул для определения центра тяжести плоской кривой.

1. Статический момент и центр тяжести системы точек. Статическим моментом материальной точки массы m какой – либо оси l называется произведение массы точки на ее расстояние от оси l. При этом для точек, лежащих по одну (произвольно выбранную) сторону оси, расстояние берется со знаком плюс, а по другую сторону – со знаком минус. Если в качестве оси l выбрана ось координат Ох или Оу и (х, у) – координаты точки, то соответствующие статические моменты М_х и М_у полагают равными mx и my.

Статическим моментом системы n материальных точек, лежащих в одной плоскости, называется сумма статических моментов всех точек системы относительно данной оси.

Центром тяжести системы n материальных точек называется такая точка, что если в ней сосредоточить массу, равную массе всех точек системы, то ее статический момент относительно любой оси будет равен статическому моменту всей системы точек относительно той же оси.

Если точки имеют декартовы координаты (х₁, у₁), (х₂, у₂), …, (х_n, у_n) и массы m₁, m₂, …, m_n соответственно ,то статические моменты М_х и М_у такой системы относительно осей Ох и Оу определяются формулами М_х = , М_у = . (1)

Координаты центра тяжести (х_с, у_с) системы удовлетворяют по определению, условиям

х_с * m = М_у, у_с * m = М_х (m = ).

Поэтому х_с = = , у_с = = . (2)

2. Статический момент и центр тяжести плоской кривой. Предположим, что масса m распределена равномерно с постоянной плотностью ρ по некоторой плоской кривой AB, заданной параметрическими уравнениями х = х(l), у = у(l). Параметр l - это длина дуги кривой, отсчитываемая от начальной точки А, L – длина всей кривой АB.

Вычислим статические моменты М_х и М_у кривой относительно осей Ох и Оу. Для этого разобьем кривую на n частей точками А = А₀, А₁, А₂,…, А₀ = B. Предположим, что точкам разбиения соответствуют значения параметра 0 = l₀ < l₁ < l₂ < … < l_n = L. Обозначим длину дуги А_iА_i+1 через (i = 0, 1, …, n-1). Её масса m_i = ρ . При достаточно мелком разбиении можно считать, что кривая AB заменена набором «тяжелых» точек массы m_i, нанизанных на невесомую нить AB (каждая масса m_i располагается в произвольной точке (х_i ,у_i) дуги А_iА_i+1). Статические моменты такой системы «бусинок» относительно осей Ох и Оу будут следующими:

= ρ ; = ρ (3)

Если существуют пределы сумм (3) при , не зависящие от способа разбиения дуги AB и выбора точек (х_i ,у_i), то их естественно назвать статическими моментами кривой AB относительно осей Ох и Оу и обозначить соответственно М_х и М_у. При этом М_х = ρ , М_у = ρ .

Для нахождения координат центра тяжести (х_с, у_с) кривой AB используем формулы (2) и равенство m = ρL. Получим х_с = , у_с = . Если кривая AB задана в явном виде формулой у = у(х), х , то воспользуемся равенством и получим х_с = , у_с = . (4)